摘要： 作者以为直觉主义辩护的视角，阐释了直觉主义在数学哲学和逻辑哲学上的主张。直觉主义的基本立场是：数学是人类心智的创造。直觉主义拒绝赋予任何数学对象以超越心、物之外的超验存在；直觉和创造，而不是证明和演绎，是最重要的数学方法，是数学的生命；数学的意义也与其他科学一样：发现值得研究的问题，触及自然的奥秘和永不停歇地追求真理。在本文前半部分作者梳理了直觉主义对包括柏拉图主义、公理化运动：包括逻辑化、形式化、（数学）纯粹化等现代数学的各种发展趋势的反抗；随后，作者列数了数学和科学发展中的部分对直觉主义者的主张有利的支持，包括非欧几何的兴起、各种逻辑悖论、哥德尔定理、勒文海姆—司寇伦定理，以及特别地提到了量子力学。最后，从对量子力学的探讨引出关于数学与物理实在的关系，作者对如何理解物理实在的问题提出了自己的想法。
关键词：直觉主义数学基础逻辑主义形式主义柏拉图主义公理化悖论存在与构造
目录：
直觉主义是在当代数学与逻辑学中影响巨大，又是最为特殊的一股思潮。其思想渊源可上溯至康德（Immanuel Kant）的先验哲学，如果仅就其反对实无穷的主张来说，更可以追溯到亚里士多德。在当代，克罗内克（Leopold Kronecker）和庞加莱（Henri Poincare）是直觉主义的先驱者，布劳威尔（L.E.J.Brouwer）是作为一支立场明确的派别的直觉主义的真正开创者，其主张得到包括贝尔（Rene Baire）、勒贝格（Lebesgue, Henri Leon）、海廷（Arend Heyting）、外尔（Hermann Weyl）等众多著名的数学家和逻辑学家的同情或接受。
正如波兰数学家莫斯托夫斯基所言：（在各种非经典逻辑中）直觉主义逻辑拥有一种独一无二的地位，它是迄今建立的唯一正被相当大一群干练的科学家实际使用着的逻辑。它也是唯一已被推广到命题逻辑和量词逻辑之外而用来叙述数学的某些部分的逻辑。头一个想出一种不同寻常的逻辑的乌卡谢维奇曾希望有一天会出几种象非欧几何那样被人实际使用的逻辑。迄今发明的非古典逻辑大多数却并没有实际使用。尽管其中的几种在二值逻辑基础上以元数学方式得到了研究。看来，直觉主义逻辑是唯一还有机会实现乌卡谢维奇计划的一个。同时，这种逻辑是建立在一种别出心裁始终如一的数学观之上的。这两个情况说明直觉主义逻辑为什么从创立之时起就引起强烈的兴趣。[①]
直觉主义对于当代数学和逻辑学的发展的影响不需多言，笔者本文的目的并不在于介绍直觉主义的发展史，而是希望借对直觉主义的观点和立场的梳理，探讨当代的“数学基础”和逻辑学领域中遇到的各种问题和困境，并从直觉主义的激进观点中获得启发。
直觉主义确实是激进的，甚至可以说是非常“反动”的，它对当代数学和逻辑学的各种的发展趋势——例如公理化、逻辑化、形式化、孤立化等等——几乎对每一条都进行了抵制和反抗。对这样一种叛逆思潮的研究将有助于我们更全面地发现和反省现今的数学和逻辑学发展中可能包藏着的各种难题和困境。
遗憾的是，直觉主义虽然在西方影响极大（虽然追随者或许不多，但很少有学者能在探讨相关问题时回避它），但似乎长期受到国内学界的轻视。大概是因为直觉主义经常与“先验论”和“反实在论”这些词儿联系在一起，而这些词儿在传统上都是被国内学界嗤之以鼻的，这或许使得许多学者容易先入为主地认定直觉主义只能产出谬误而不再引起重视。但事实上，西方数学基础和逻辑学领域的其它各门各派尽管无一不受直觉主义的攻击，但也无一不受到直觉主义的影响。包括那些非直觉主义者乃至直觉主义最强烈的反对者在内，多会在某些方面或多或少地接受直觉主义的某些主张，要考察和探讨有关数学基础的问题而略去直觉主义简直是不可能的。
正如前文所述，直觉主义与其说是一支学派，不如说是一股思潮，一方面在那些非直觉主义者那里也能发现大量直觉主义的影响；另一方面，在那些旗帜明确的直觉主义者那里，观点和主张也千差万别，很难笼统地一概而论。
鉴于此，笔者感到若要较好地展示直觉主义的立场和思想，站在旁观者的视角进行客观的描述并不是最佳的选择。而且，笔者想做的并不是历史介绍，而是希望从直觉主义的思想中获得启发，最好的方式自己采取直觉主义的视角，以直觉主义的思路与各种其它立场进行比较和论辩，这样才最容易凸现直觉主义的独特和“反动”。
笔者或许真是一个直觉主义者，或许不是；而笔者对直觉主义的观点的梳理或许并不符合那些直觉主义者的原意。但这些都是次要的，重要的是探讨直觉主义对于数学基础、逻辑学，乃至整个哲学和人们的思维方式中的各种问题所带来的启发。
在与其它主张进行对比之前，仍然需要简略地介绍一下直觉主义的基本主张，并澄清一些误会。
首先，笔者认为，在深入地了解之前先“扣帽子”的研究方法是非常有害的，例如把“先验主义”、“反实在论”、“唯心主义”、“主观主义”等等作为对直觉主义的先入为主地印象都是冒失的[②]。直觉主义确实与康德渊源颇深，但康德的哲学对直觉主义而言也主要是“启发”上的意义罢了，直觉主义不见得是完全的先验论的，在后文将提到，直觉主义者几乎可以算是数学中最执著的“经验主义”或“实证主义”者。何况即便是对康德本人，简单地将之划入唯心主义或反实在论都是大成问题的，轻率的“扣帽子”容易造成严重的误解，当然康德哲学并非本文的主题。
顾名思义，直觉主义最初和最重要的立场就是对“直觉”的强调。这当然不是说他们否认数学的逻辑性和严谨性。谁都承认，数学是对逻辑严谨要求最高的一门科学，直觉主义者不可能否认这一事实。但直觉主义者更要强调的是直觉、灵感和创造力在数学中的地位，而这些东西在公理化运动的浪潮中被淹没和忽略了。数学不仅是最讲严格性的科学，同时也是最富创造性的科学。
正如庞加莱所说：“逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可，唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。”[③]
关于直觉与逻辑的关系，将在稍后的直觉主义与整个公理化运动的对立中进一步探讨。
对直觉的重视与直觉主义的数学观有直接的关系，直觉主义认为数学源于人类的心智结构，数学家更多地是发明者而不是发现者（例如维特根斯坦也有如此主张）。要注意，一看到“……源于人类的心智”就将其归入先验论或唯心主义是可笑的，除非断言人类的心智不可能创造任何东西，否则它多少总会有点“产物”。如果主张“人类关于外部世界的知识的确定性源于人类的心智结构”大约是先验论的；主张“人类关于外部世界的全部知识本身源于人类的心智”则大概是某种（认识论上的）唯心主义的先验论；而主张“外部世界本身源于人类的心智”则是特别极端的（本体论上的）唯心主义（早已不再是先验论的），这三种主张是非常不同的。而直觉主义只是宣称“数学”源自人类的心智，一方面并没有排除“数学的确定性”来自外部世界的可能性，更尚未对外部世界问题开展任何讨论。
与其将直觉主义归入先验论，毋宁将它看作最彻底的经验主义者。相比下来，所谓的“逻辑经验主义”反而有所不及。因为所谓逻辑经验主义实在是“逻辑／经验”主义，他们在一切领域坚持执行经验主义，唯独在“逻辑”（以及被认作逻辑的导出物的数学）中是例外。而直觉主义则坚持数学真理也是经验的，逻辑、数学与其它自然科学中早被休谟所指明的归纳法那样，并不是绝对可靠的。布劳威尔说道：“并不存在非经验的真理，逻辑也并非是发现真理的绝对可靠的工具。……严格地按照这个观点来进行探讨，并且专用内省构造的方法来推演定理的数学，叫做直觉主义数学。”[④]
经验主义与证实主义总是关系亲密，自然地，直觉主义的数学观也是倾向于证实主义的，保罗·贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）称：“直觉主义者在数学上倒似乎是证实主义者，但对其他学科则不一定如此。”[⑤]
关于经验主义、证实主义等问题，在后文还会讨论。之所以在此预先提起主要是为了纠正一些可能的误解——直觉主义者思想怪异、与众不同、简直不可理喻等等，事实上直觉主义与逻辑主义等被视为“主流”的思潮也是相似和相通的。
直觉主义之所以容易被认作不可理喻的“异端邪说”，主要的因素之一大概是它对“排中律”的反对。一件事情要么是真，不然就是假——这难道不对吗？直觉主义者竟然拒绝接受这样一条如此符合“直觉”的信念，真是疯了！
事实上，并不需要对此过于惊讶。首先，即便是在经典逻辑的思路里，也并不是任意的“语句”都具有真值的，例如“面包是勇敢的”、“电子是甜的”、“独角兽是小于零的”等等，我们也认为这些语句“非真即假”吗？与其说这些句子为“假”，不如说这些句子根本是无意义的、不知所云的。
直觉主义并非直接地反对排中律，对他们来说，与经典逻辑一样，任何在语义上合法的、有意义[⑥]的陈述仍旧是非真即假，
米歇尔•杜麦特（Michael Dummett）指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[⑦]
问题是并非所有的经典逻辑下合法的陈述在直觉主义那里都是有意义的。直觉主义提出异议的主要是某些对象是无意义的——例如谈论作为确实完成了的实在的“实无穷”在直觉主义看来是无意义的。直觉主义认为只有那些原则上能构造出在有限步内可以能行地判定的方法的数学陈述才是合法的。
再打个比方来说，直觉主义承认“天下乌鸦一般黑”这一断言是有真值的，因为“天下的每一只乌鸦要么是黑的，要么是非黑的”（不考虑模棱两可的颜色）这一命题是合法的。因为“天下的乌鸦”虽然多不胜数，但毕竟是有限的；“天下”虽然广大，但也是有限的；原则上我们可以地毯式地搜查出所有的乌鸦，然后挨个检查它们的颜色，虽然这在技术上难以做到，但这个问题毕竟在原则上是“现实的”。
然而，下述的陈述却是无意义的：“在《伊索寓言》的《乌鸦与狐狸》故事中的那只乌鸦要么是黑的，要么是非黑的。”因为那只乌鸦根本是故事里虚构出来的，而伊索也从未直接或间接地提供过有关判断该乌鸦颜色的信息。
除非在伊索的故事的内部有足够的依据来判断它的颜色，例如在某处说到该乌鸦曾掉落一片白色的羽毛，才有权认为谈论那只“乌鸦”的颜色是有意义的。
争论的焦点在于“数学对象”究竟位于何处。显然，它们不存在于现实世界中，至少现实世界中哪儿都找不到“实无穷”。那么，基于什么理由使有关那些数学对象的陈述也是有意义的呢？柏拉图主义认为数学对象存在于某个既超离于现实世界，又不依赖于人类的心智的“理念世界”中。但这种玄妙莫测的世界究竟是什么呢？直觉主义者（形式主义者也如此）认为这种观点岂止是过深地陷入了形而上学，简直是卷进了神学！
希望《伊索寓言》的类比不至于令人产生这样的误解——直觉主义认为数学只是虚构的故事。形式主义者可能真是如此认为的，他们提出的要求是使整个故事严密自洽、能够自圆其说。而直觉主义者认为数学的构造绝非随心所欲，而是有内在的客观性和确定性的，这也许就是直觉主义中先验论的主要方面。
并非所有的直觉主义者都不“相信”“哥德巴赫猜想要么成立要么不成立”、“孪生素数要么有无穷多个要么没有”等等。海廷说道：“事实上，所有数学家甚至直觉主义者都确信：数学在某种意义上与永恒真理有关，但是当人们尝试准确地规定这个意义时，却陷入了形而上学困难的迷雾中了。避免这些困难的唯一途径是把它们从数学中排除出去。”[⑧]
相信归相信，一旦要以科学的视角，询问这些陈述的“意义”时，问题就不那么简单了。直觉主义者认为数学是人类心智的构造，同时或许也源于现实世界，但无论如何都不是超然于心智和物质之外的神秘之物——“数学是不应当依靠这样一些概念的。”[⑨]
数学对象的意义既然难以由来自于现实世界的经验提供，判断那些抽象的命题之意义的方法只有一条了，那就是“存在必须被构造”——“在心智数学构造的研究中，‘存在’与‘被构造’必须是同义语。”[⑩]
只有被构造的、可被人类有限的心智所触及的东西才有意义。至于实无穷之类无法被构造出来的——因为无论人类心智还是物质世界都是有限的——既不存在于现实世界，也不存在于心智结构中的事物是无意义的，牵涉它们的命题当然也是无真假可言的，好比“伊索寓言中的乌鸦是不是黑的”、“福尔摩斯的曾祖父是不是左撇子”等等，我们容易理解这些问题是无意义的，因为它们指涉的对象根本不“存在”。那么，实无穷存在在哪里呢？外尔说道：“排中律可能对上帝来说是有效的，他能够一下子检查完自然数的无穷序列，而对于人的逻辑，这一点却是做不到的。”[11]
总而言之，直觉主义与其它流派的主要分歧源于对数学本性的理解——数学是什么？它的对象、方法和意义是什么。直觉主义认为数学对象源于人类心智的构造，但同时也与客观世界紧密相连，但与超验世界和超自然无关；直觉和创造，而不是证明和演绎，是最重要的数学方法，是数学的生命；数学的意义也与其他科学一样：发现值得研究的问题，触及自然的奥秘和永不停歇地追求真理。进而，正是基于其的数学观，同时谦虚地承认人类心智的力量是有限的，导致了一系列具体主张。例如对排中律的抵制等等，因此要更真实地了解直觉主义，不应该从“反对排中律”这一处于直觉主义者思想推演的最末一环这一具体实例入手，而应当从直觉主义最基本的那些哲学思想出发去了解。
1．柏拉图主义
前文其实已经述及了直觉主义对所谓柏拉图主义提出的反对——数学对象并不存在于一个超然于心、物之外的独立王国中。而相应地在或多或少的程度上默许这样一种“理念世界”的，可以称之为“柏拉图主义”。
“柏拉图主义”对近代数学乃至说整个近代科学的影响比一般人想象的要大得多，甚至伯特（Edwin Arthur Burtt）等一些有影响的科学史家指出：从哥白尼到牛顿的近代科学崛起的整个过程中，柏拉图主义的复兴始终都是至关重要的触发和推动的因素[12]。
柏拉图主义的影响经常是不自觉地渗透在人们的思维和语言习惯中的，例如保罗·贝奈斯（Paul Bernays）指出：“这种建立理论的方式（柏拉图主义式的）的一个例子，可以在希尔伯特的几何公理化中找到。如果我们比较一下希尔伯特的公理系统和欧几里得的公理系统，……我们就会看到：欧几里得说的是有待构造的图形，而对于希尔伯特来说，点、直线和平面系统是一开始就存在的。欧几里得假设：人们能够用一条直线联接两个点；希尔伯特陈述公理：给出任何两点，总存在一条这两点都在其上的直线。……这个例子已经表明了，我们正在显示把对象与反思主体之间的联系全割断的意向。”[13]
集合论的创始人康托尔（Georg Cantor）更是明确地声称自己是一个柏拉图主义者[14]，他不仅向“理念王国”求助，更援引神秘主义和上帝来为自己辩护，他说道：“数学对象的实在性并不存在于真实世界，而是存在于上帝的无穷智慧之中：数学对象的内在真实性即逻辑相容性保证了这种对象是‘可能的’，而上帝的绝对无限的本质则保证了这种‘可能的对象’在上帝思想中的永恒存在。”[15]
数学中的“柏拉图主义”的极端形式可以叙述如下：“数学由一批命题组成，这些命题讨论由熟知的数学对象（如集合、数、函数和空间）所构成的独立实在。数学发现乃是根据我们凭借不同于感官经验（它只为我们提供经验世界的知识）的特殊直觉能力认定为真的公理，通过演绎揭示与这种独立存在的实在有关的真理。数学对象独立于我们的思维，它们与物理对象不同，不是通过与人体产生相互作用，从而在人脑中引起改变以最终导致对它们的认识；但是它们必须予以假定，以便说明数学知识和其它知识（在这些只是依赖于数学知识的范围内）之存在与增长的原因。”[16]
正如贝纳塞拉夫所说：“很难不折不扣地把这种观点归属于任何人，尽管哥德尔或许是柏拉图以来最接近这种观点的人。……可能大多数数学家都会反对这种极端形式的柏拉图主义；当代的哲学家或心理学家中肯定没有什么人会认为，对独立存在于时空之外的对象的王国进行审视的超自然能力的概念是能够接受的。但是如果反对回到这种观点上来，那就无法回避因提到‘直觉’（这是在许多哲学家和集合论学者的著作中都遇到的）而产生的一些问题。那么什么是‘直觉’呢？如果上面介绍的柏拉图主义观点是完全错误的，这种能力又怎么可能存在呢？”[17]
数学遇到的这种困境类似于自然科学在休谟那里遇到的困境——如果在笛卡尔那里赖以维系心、物之关联的“上帝”不存在，那么是什么力量保障了“归纳法”如此“富有成果”呢？类似地，如果取消了那样一个心、物之外的理念王国，又如何解释数学的“确定性”呢？正如普特南（Hilary Putnam）所问：“如果不存在这样一种关于大部分数学都是真理的解释，如果我们所作出的仅仅是随意地去写出一些无意义的符号（其中甚至包括了尝试和错误），我们的理论怎么可能是无矛盾的呢？它又怎么可能如此地富有成果呢？”[18]
所有人都不否认数学是“富有成果的”，乃至是非常“可靠的”，而直觉主义、逻辑主义和形式主义都是试图以不同的方式来为数学为何如此“可靠”提供理由。自然地，关于“何谓数学对象”的分歧成为了争论的焦点。
首先，注意到柏拉图主义之所以在现代数学中复兴，以至于现代人看起来几乎比欧几里得更接近于柏拉图，一个很大的原因是下述一条长期以来被普遍接受的信念遭到了颠覆——“数学是针对物理世界的抽象和反映，数学对象存在与之对应的、为之所刻画的现实构造。”
对这一信念的颠覆在某种程度上始于非欧几何的诞生。欧氏几何长期以来被认为是对物理世界的真实刻画，但非欧几何打碎了这种天真的想法，数学的“确定性”开始动摇，人们开始接受：“多种”数学可能同时存在。当然，现实世界只有一个，如果物理空间是非欧的，那么欧氏几何所刻画的又是什么呢？当然，在非欧几何之前，负数、复数、无穷小量等等早已困扰了数学家和哲学家们许多年了。
另一个进展来自于自然科学，现代的宇宙学和量子物理学都取消了物理世界中的“无限”。正如希尔伯特（David Hilbert）所说：“我们已在两方面确定了宇宙是有限的，即在无限小的方面和在无限大的方面。”[19]大多数人都同意希尔伯特的看法：“如果数学要独立于暧昧的经验假定的话，那它绝不应把有关无限结构的存在性断言建立在物理的考虑之上。”[20]
于是，如何“处置”数学中的“无限”便成了争论的焦点。既然无法在现实世界中寻找“无限结构”，允许它们存在于某个超验的理念世界中似乎是一个最方便的做法。然而我们已经指出：这样一种既非物质、又非人类心智的世界是令人困惑的。
即便是逻辑主义或形式主义，也希望避免极端形式的柏拉图主义，前者试图以将数学归结为逻辑的方式回避问题，事实上，他们最终还是要在解释逻辑为何可靠的问题上遇到困难——逻辑的真理性究竟是由先验的直觉、超验的世界、还是由经验保障的？而形式主义试图干脆取消数学对象的“意义”，数学对象不需要把意义寄托在现实世界或理念世界，因为数学对象根本不需要意义，数学的意义在于其构成的一致的、自圆其说的系统。但这些努力在很大程度上都是在回避问题，他们对柏拉图主义的拒绝是不彻底的。关于这些，在后文中还将展开论述。
毫无疑问，直觉主义对柏拉图主义的拒绝是最为自觉和最为彻底的，海廷指出：“我们并不赋予整数或任何其他数学对象以独立于我们思想之外的存在，亦即所谓超越的存在。即使我的每一思想都涉及一个被认为独立于它而存在的对象，我们尽可能让这继续成为一个悬而未决的问题，在任何情况下，这样一个对象没有完全独立于人类思想的必要。即使它们必须独立于思想的个别活动之外，数学对象从它们的本性来说还是依赖于人类思想的。它们的存在只有在它们能被思想决定的范围内才得到保证。它们之具有性质也只有在这些性质能被思想从它们中间加以识别的范围内才说得上。但是知识的这种可能性只是靠知的活动本身才给我们显示出来。不被概念支持的对与超越存在的信赖，作为数学证明的工具必须予以拒绝。”[21]
直觉主义者倒不是将矛头指向对“理念世界”的信念本身，你可以信赖超越的存在，就像你可以信仰上帝，这是你的自由，但这是信仰的问题，与科学无关。科学不必干涉对超越物的信念，同时，这些信念更不能介入科学，甚至成为科学中证明的工具。直觉主义者把数学与物理学等自然科学放在一起，数学同样是一门经验的、实证的、可错的、自然的科学，只不过是更为抽象一些罢了，而逻辑学则比数学还要抽象，但它们始终不能超越经验，寻求那些物质和心智都不能提供的东西。
顺便提一下，直觉主义者坚定不移地割断了数学与超验世界的任何联系，但是另一方面，它却试图重建几乎已被割断的数学与现实世界的联系，这些倾向在后文中笔者将会展开。
“直觉主义立场的整个核心就是认为不可判定的数学陈述不会因按柏拉图主义方式规定它们的真值条件而合法地具有意义。”[22]——反柏拉图主义可以说是理解直觉主义思想的主要线索之一。本文直到此处，才算是完成了“导论”的工作，下面笔者将从一些更具体的问题上阐释直觉主义的观点。
2．逻辑主义
逻辑主义是大概是现代在数学基础的争论中，乃至是在整个现代哲学中影响最大的派别之一。它几乎主导了整个20世纪英美哲学的发展。在数学方面，其主张用最简单的语言概括就是：数学可由逻辑推导出来。具体些说，包括：“1、数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。2、数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。”[23]
前文已经提到，直觉主义可以说是数学中的经验主义和证实主义者，而我们知道大多数逻辑主义者自然地同时是所谓的“逻辑经验主义者”或“逻辑实证主义者”等等，由此观之，逻辑主义与直觉主义虽是死对头，但其共同点着实不少。
在对“形而上学”的拒绝这一点上，逻辑主义与直觉主义是相似的。甚至逻辑主义可能更为坚决一些。逻辑经验主义不止是在科学中拒绝形而上学，甚至是整个地鄙视形而上学。在他们看来，传统的所有形而上学问题都是“伪问题”，都是毫无意义的。甚至是“外部世界是否实在”这样的问题，由于它正是一个典型的形而上学问题，所以在最初的逻辑经验主义看来根本是毫无意义的。相比直觉主义者而言，逻辑经验主义者理应更配得上“反实在论”（至少是“非实在论”）。问题是，逻辑经验主义者恰恰在逻辑学和数学上不再坚定地贯彻其经验主义，而直觉主义者虽然在外部世界的实在问题方面是温和的，但是对于柏拉图主义意义的实在论进行了最强烈的抵制，以至于竟是直觉主义更多地与“反实在论”这一名词联系在一起……
许多逻辑主义者也都明确表达地表达过对直觉主义者的反柏拉图主义的支持，例如卡尔纳普（Rudolf Carnap）说到：“我认为我们应该坚持弗雷格的名言，即在数学中，只有那些存在性已被证实了的（他的意思是在有限步骤内证明了的）才可被看作是存在的。我同意直觉主义者的观点：每一个逻辑—数学运算、证明及定义，并不是由于人们的一些偶然的经验事实而要求有限性，而是由于主题本身的性质才要求有限性。”[24]“和直觉主义一样，我们只把那些按照确定的构造规则由适当范围内的无定义的原始性质通过有限多的步骤构造出来的表达式看作性质。我们之间的区别在于这个事实：我们不仅认为直觉主义者所用的构造规则是有效的，并进一步允许用‘对所有性质’这个表达式。”[25]
直觉主义与逻辑主义的关系看来是非常微妙的。刚才提到，直觉主义似乎比逻辑经验主义更强调“经验”，现在我们又将看到：逻辑主义似乎比直觉主义更加诉诸“直觉”！
哥德尔（Kurt Goder）提到：“数学直觉对象的客观存在性问题（附带提一下，它是外部世界的客观存在性问题的精确复制品），对于这里所讨论的问题不是具有决定性的。关于存在一种充分清楚的可以产生集合论公理和它们的扩充的一个开系列的直觉的仅仅是心理学上的事实，就足以使像康托尔连续统假设那样的命题的真假问题具有意义。但是，也许比其他一切都更能证明，接受集合论中的这个真理性判据为合理的是这样一个事实：不断地诉诸数学直觉不仅对于获得超限集合论问题的无歧义解答是必要的，而且对于解决有限性数论问题（如哥德巴赫猜想）也是必要的，”[26]
哥德尔的“不断地诉诸数学直觉”却被直觉主义要求中断！分歧在于，逻辑主义者认为人类的直觉能够把握“实无穷”这样的概念，而直觉主义者予以坚决的反对。
简单地说，直觉主义运用逻辑主义的理念——经验主义与证实主义——来反对实无穷；而逻辑主义却诉诸“直觉”为实无穷这一概念的合理性提供支持。
直觉主义对“直觉”的限制是合理的，也是前后一致的。谁都不会认为人的直觉总是正确的或者一切正确的总是合直觉的。有些论者以“直觉主义数学中的某些定理也过于复杂以至于不能为直觉把握”为由来反驳直觉主义，这是基于对直觉主义的一种仅仅是“字面上”的过分简单的理解。直觉主义并不否认逻辑的重要性，只是在孰先孰后的问题上侧重不同。直觉主义强调人类心智能力的有限性，从而反对人类心智能够合法地驾驭“实无穷”这一观念的主张。
而逻辑经验主义对“经验”的限制则是值得商榷的，事实上，许多逻辑主义者“受根深蒂固的绝对主义逻辑观的影响，认为逻辑是纯形式的，空无内容”。[27]他们认为演绎逻辑的真理是绝对必然的，值得讨论的顶多只是对归纳逻辑的“证成”问题，而甚至从未认真考虑过演绎逻辑是否也需要“证成”的问题。但是逻辑的“绝对必然性”又是从哪里来的呢？事实上，只是因为逻辑与经验的距离最为遥远、关系最为间接，才让人产生“逻辑是绝对的”这样的错觉，逻辑规则与其他科学规律及常识一样，“具有经验的起源，它来自于人们在长期社会实践过程中所形成的基于经验的直觉，它是人们对日常语言经验和思维经验进行逻辑抽象的结果。”[28]
直觉主义的主张正是基于他们对逻辑之“经验性”的承认。从语言学角度说，逻辑是人们对日常语言经验进行抽象的结果；而具体在数学方面，数学中的逻辑正是对数学家们在长期的数学探索和创造中的经验的抽象，海廷说到：逻辑定理“和数学定理并没有本质上的区别；它只是更一般，就如‘整数加法是可交换的’是比‘2+3=3+2’更一般的陈述一样。对于每一个逻辑定理来说，情况都是如此，它只是一个具有极端一般性的数学定理；也就是说，逻辑是数学的一部分，而决不能作为它的基础。”[29]
我们看到，直觉主义和逻辑主义的最根本的分歧并非是否接受“实无穷”，而是在于对“逻辑是什么”的理解。至于对实无穷的拒绝，只是直觉主义者在主张逻辑“经验性”之后才得到的一项推论——既然经验中不存在实无穷，又没有超验的世界或者超自然的力量来提供保障，那么我们关于“实无穷”的所谓“直觉”怎么可能是合法的呢？
正如布劳威尔所说：“直觉主义一方面使逻辑趋于精细，另一方面抨击作为真理来源的逻辑。”[30]直觉主义并非不重视逻辑，好比说我们并不因为物理学不提供绝对真理就丢弃和鄙视物理学，意识到物理学向我们提供的仅仅是相对的真理并不是在贬低物理学，而是人类思想的进步，是保证物理学继续健康发展的必须。类似地，直觉主义重视逻辑，正如他们重视经验科学那样。直觉主义反对的是将逻辑作为“真理来源”——人类的有限的心智永远不能掌握“绝对真理”，人类将永不停歇地“追求真理”。人类的认识源自自然，也就是说：科学源自真理，而不是真理源自科学，逻辑学也是不例外！
3．形式主义
形式主义大概算不上一支哲学流派，但它在数学基础问题上的立场是极其重要的。形式主义的创始人为鼎鼎大名的希尔伯特，而稍后其学生冯·诺依曼（John von Neumann）也成了其追随者。这两位可以说是继庞加莱之后可数的两位数学巨匠（虽然庞加莱被誉为“最后一位数学全才”）！相比起来，逻辑主义的追随者大多是数理逻辑学家（即便是算得上最伟大的数理逻辑学家的哥德尔，在数学上的主要成就也基本集中于数论而已），难以与希尔伯特等在数学乃至数学物理学的多个分支（对庞加莱而言是几乎全部分支）都有杰出造诣，同时也作为数学界的“领袖”对现代数学的发展带来直接的实质性推动的数学大师相提并论。
作为最杰出的数学家，希尔伯特和他的追随者们也许对“什么是数学”这一问题更有发言权——是指相对于逻辑主义而言，而直觉主义倒不用心虚，因为支持直觉主义的数学家们也并不逊色。
前文已经提及，希尔伯特率先否认了“无限”的现实性，他进而对逻辑主义者不加限制地在逻辑中接受无限提出了反对：“像‘在一个有限的总体中存在一个具有某一性质的对象’这样的陈述是完全符合我们的有限性方法的。而像‘或者p+1或者p+2或者p+3……或者（直至无限）……具有某一性质’这样的陈述则本身是一个无限的逻辑积。这样一种推广到无限的过程，如果没有进一步的解释和预防措施的话，是和微积分中从有限乘积到无限乘积的推广一样地不许可的。因此这种推广通常是没有意义的。”[31]“无限在现实中的任何地方都找不到。它既不存在于自然界中，也不为理性思维——存在与思维之间一种引人瞩目的和谐——提供合法的基础。与弗雷格和戴德金德以往的努力相反，我们认为要获得科学的知识，某些直觉的概念和洞察力是必要条件，单凭逻辑是不够的。以无限进行的运算只有通过有限性才能成为确定的。”[32]“作为应用逻辑演绎和实现逻辑运算的一个进一步的先决条件，在概念形成中必须有一些东西，即某些在一切思维之前作为直接经历的事物而被直觉到的逻辑以外的具体对象。”[33]“实质逻辑演绎是必不可少的。只有当我们作出任意的抽象定义，特别是那些包含无限多对象的抽象定义时，我们才被欺骗。在这些情况下，我们是不合法地用了实质逻辑演绎；也就是说，我们没有充分注意到那些为这种演绎得有效应用所必需的先决条件。在认识到存在着这些必需考虑的先决条件时，我们发现自己是和哲学家相一致的，尤其是和康德相一致的。康德教导我们——而且这是他学说的主要组成部分——数学处理的题材是与逻辑无关地被给定的。因此数学绝不能单靠逻辑建立起来。由此可知，弗雷格和戴德金德如此建立数学的企图是注定要失败的。”[34]
从以上摘引的大段文字看，简直就是在陈述直觉主义的主张（这也是笔者一口气摘引那么多文字的另一目的）！事实上，在对逻辑主义的反对方面，形式主义与直觉主义确实是非常相似的。于是，在希尔伯特和他的学生们在1920到1930年为建立任何形式系统的相容性而逐步开展了所谓的希尔伯特证明论或元数学中，采纳了甚至直觉主义者都觉得可以接受的原理[35]，这也就不足为怪了。
但形式主义与直觉主义的分歧也是明显的：
希尔伯特不能容忍直觉主义者对经典数学已取得的成就的“破坏”，他坚持将“无限”保留在数学中，尽管它不可能存在于人的心智之外的任何地方，甚至也不在“逻辑”中合法，希尔伯特说道：“无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用。”[36]
要保留实无穷作为合法的概念，却又明知其意义不能“寄托”在经验的现实世界或超验的理念世界，希尔伯特也没有选择投靠先验论，那么，究竟还有什么地方能“寄托”这些数学概念的意义呢？希尔伯特的选择是：干脆不要在任何地方寻求数学概念的意义！或者说，数学概念的意义只在于数学系统本身。
于是，希尔伯特着手建立抽走了“意义”的形式系统，在希尔伯特看来，数学概念——例如直线、点——原来可能具有的与某些现实对象的直观联系都是不重要的，“直线”、“点”都只是一些符号，这些数学符号的意义只有在这些符号自身之间的联系中才能体现，例如“任意两点之间存在一条直线”这样一条数学陈述，以其它的符号替换，例如“任意两椅子之间存在一桌子”，并不会改变该陈述在数学中的意义！——“希尔伯特决定对所有逻辑和数学的叙述用符号形式来表达，这些符号，尽管它们可以表达直观上的意义的感知，但不能在他所提出的形式数学中找到解释。希尔伯特希望包括一些甚至可以表示无限集合的符号，但是他们没有什么直观上的意义。这些理想的元素，如希尔伯特所称，是建立所有的数学所必需的，所以它们的引入是合理的，尽管希尔伯特相信在现实世界中仅有有限个事物存在，事物又是由有限个元素所组成的。”[37]
也就是说，希尔伯特以将整个数学从现实和直观意义中剥离来回避“无限”的意义问题。希尔伯特与直觉主义一样，认为实无穷无论在现实中还是直观中都是没有意义的，然而他却通过抽离整个数学的直观意义来接纳实无穷！正如布劳威尔所说：“对形式主义者来说，数学的精确性只在于发展关系系列的方法，而与人们企图给予这些关系或这些关系所涉及的实体的意义无关。”[38]
这样，每一个数学元素都只是在与数学体系中的其它元素的相互关系中表达自己——“这些从数学上说是‘理论的’陈述，希尔伯特称之为‘理想元素’，把它们的引入比作射影几何学中引入‘无限远’的点：它们是作为使你们真正关注的事物的理论变得更为简单和优美的一种便利而引入的。如果它们的引入并不导致矛盾，并且如果它们具有这些另外的用处，那么这种引入就被证明是合理的：因此就要为一阶算术的完整体系寻求一个以执行证明。”[39]
也就是说，实无穷集的引入正如无限远点的引入那样，只是为了整个理论更为优美，为了其它拥有现实意义的运算更为便利，于是形式主义者迫切要解决的问题就是证明引入这些无意义的便利概念并不会造成系统的不一致。于是，希尔伯特创立了形式主义之后立刻向连续统问题投入研究，他提到：“我所发展起来的理论提供了连续统问题的一个解。证明每个数学问题都是可解得，是解决这问题的第一和最重要的一步。……”[40]
然而，希尔伯特关于“解答了连续统问题”的豪言从来没有真正实现过，甚至稍后将被证明是永远不可能实现的！希尔伯特的梦想注定要以破灭告终。
在此处笔者暂不继续讨论连续统问题，这不仅是因为有关形式系统的一致性和完全性的问题还将在后文中涉及，更是因为：形式系统的一致性能否得到证明这一问题在直觉主义和形式主义间的分歧中根本是无关紧要的。
直觉主义认为，即使希尔伯特的形式化数学的相容性得到了证明，这种理论即这种形式化的数学也是没有意义的。外尔抱怨说希尔伯特是通过“一种彻底的重新解释”来“拯救”经典数学的，也就是把它形式化了，而实际上是抽取了它的含义。“这样就把它在原理上从直觉系统转移，而形成一个根据固定规则进行的公式游戏。”“希尔伯特的数学也许是一种美妙的公式游戏，甚至比下棋更有趣。既然它的公式并不具有公认的可借以表示直觉真理的实在意义，那么它与认识又有什么关系呢？”[41]
直觉主义者继续强调他们是依靠数学的意义来决定其正确与否的，而形式主义者（和逻辑主义者）却是与理想的或是无意义的超自然世界打交道的。布劳威尔说道：“随意使用亚里士多德逻辑会导致形式上有效而实质上无意义的论断，经典数学通过放弃许多逻辑结构中的含义而放弃了实在。”[42]
究竟谁才是“反实在论”？通常认为是反实在论的直觉主义的创始人竟在指责对手“放弃了实在”！如果我们预先已将“反实在论”的帽子扣在直觉主义头上，到此处一定难以理解布劳威尔的思路，但事实上，直觉主义的立场是相当一致的：直觉主义者反对的是柏拉图主义式的实在论，而之所以他们如此反对数学上的实在论，一个主要的原因恰恰是他们重视和强调数学与（自然的）实在的联系！当然，直觉主义的主张是数学的“精确性”存在于人类心智之中，而不是如形式主义那样，认为“存在于纸上”。[43]然而直觉主义并没有宣称“人的心智与实在无关”，他们恰恰是要强调心智与实在的不可割断的联系，因此，说“数学需要与实在相联系”与“数学源于人类的心智”并无矛盾。
不愿意割断数学与实在的关系正是直觉主义反对形式主义的主要原因。当然，直觉主义逻辑也可以，也需要被“形式化”，然而，这并不代表直觉主义接受了形式主义。布劳威尔的学生海廷最早将直觉主义形式化并真正建立起一套直觉主义逻辑系统，然而正是海廷本人明确指出：“用直觉主义数学的形式化来使形式主义和直觉主义相协调也是不可能的。诚然，甚至在直觉主义数学中，一个理论的完成了的部分也可以形式化。暂且研究一下这种形式化的意义会很有益。我们可以把这个形式系统看成是数学思想在一种特别合适的语言中的语言表达。”[44]对于直觉主义而言，所谓“形式语言”的根本作用正是恰如其名的——“语言”。“语言”的作用是方便人与人之间交流“思想”，一种越完善的语言越能够清晰准确地表达思想，但真正拥有意义的、真正重要的永远是思想本身。而且，海廷接着说道：“如果我们采用这种观点，那么我们就猛烈地撞上了语言在根本上是含糊的这个障碍。因为一个词的意义决不能精确地固定得足以排除各种误解的可能性，所以我们在数学上决不能保证形式系统正确地表达了我们的数学思想。（笔者按：这一主张更得到了勒文海姆—司寇伦定理的支持，后叙）”[45]
形式化是对作为交流工具的语言的完善（逻辑演绎规则等大概可以比作语法），这是重要的，但是语言的进步是后行于思想的，将字母表传入一个原始部落并不会使他们拥有的知识增加多少。同样地，数学本身的发展总是先行于形式化的进展，数学的进步将使得形式化永远不可能被最终完成，海廷说：“形式化可以在数学内部完成，从而成为一种有力的数学工具。当然，人们决不会确信这个形式系统完全代表数学思想的任何领域；在任何时刻，新的推理方法的发现都将迫使我们去扩大这个形式系统。……直觉主义的进行独立于形式化，而形式化只能追随在数学构造的后面。”[46]
4．公理化运动
无论是逻辑主义还是形式主义，无论是弗雷格（Gottlob Frege）、罗素（Bertrand Russell）、希尔伯特还是策梅罗（Ernst Zermelo），“公理化运动”是他们的总括。他们都希望以欧几里得的方式，为整个数学建立起一套坚实稳固的基础。逻辑主义和形式主义的分歧在于前者认为数学公理都是逻辑的产物，而形式主义以形式系统内部的一致性来支持对公理的选择，但这些分歧相比而言是如此之小，以至于人们经常对逻辑主义和形式主义不加分辨。
然而直觉主义却置身整个潮流之外，对整个“严密化”、“公理化”的潮流进行了反思和批判。
直觉主义者并非反对公理和演绎的严密化本身，“公理化”就其本身的含义来说，是从欧几里得就开始的源远流长的数学传统，并非现代人的独创。然而现代人的问题是：他们过分地强调了“公理化”，过分地纠缠于发展严密化的逻辑演绎，而逐渐淡忘了一些更重要的、至少是同样重要的因素。
对公理化运动的批评远不限于直觉主义者，事实上，众多杰出的数学家都对这股潮流感到不安。
哥廷根学派的重要成员，后移居美国（明显是由于纳粹迫害而导致哥廷根学派解体）的著名数学家柯朗（Richard Courant）无不忧虑地说道：“目前过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险，事实上，那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表述，但是它们却是任何数学成就的核心，即便在最抽象的领域里也是如此，如果说完善的演绎形式是目标，那么直观和构作至少也是一种动力，有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾以外，可以由数学家根据他们的意志随意创造，……”[47]
希尔伯特正是哥廷根学派当年的领袖，他虽然是形式主义的开创者，然而正如在思想史中十分普遍的情形那样——某个“主义”的创始人却并非狂热的信徒——“希尔伯特当然不是一个狂热地相信天然形式主义的人：因此当他的问题涉及形式系统的句法性质时，解答都是用直觉上正确的推理给出的，同时他明确地认为这种推理的任何形式化都是不必要的。”[48]
希尔伯特在数学的杰出成就也远不限于“形式主义”，他的学术生涯几乎是每一个阶段专攻一个领域，依次从不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程到物理学，最后才转向对一般数学基础的研究，希尔伯特本人的学术进程正是对“数学先行于形式化”极好的诠释。希尔伯特的“23个数学问题”更是著名于世。可以说，希尔伯特整理这些问题本身相比于攻克某个难题而言，对20世纪的数学发展起到的导引作用是更为巨大的。他说道：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”
公理化只是数学中的“问题”之一，它或许是极重要的，但不见得是最重要的，更不是唯一重要的，更不存在“若基础问题不妥善解决，数学就难以前进”的问题。
在公理化、逻辑化、形式化的浪潮下，许多人并不像那些大数学家那样仍然保持清醒的头脑，他们逐渐将“数学创造”与“公理系统”、“逻辑演绎”等印象混同起来，他们只知道数学是所有人类智力活动中最讲究严谨的一门学科，这并没有错，然而他们却忘记了数学同时也是最富创造力、最自由和最有生气的学科之一。
在现在，类似的对数学的误解是普遍的，在人们的印象中，一位典型的数学家的形象大概是：略带秃顶、戴着眼镜、埋头于纸堆之间、不修边幅、袜子穿得一黑一白、运笔如飞地进行演算……总之，数学逐渐与某种“刻板”的形象联系起来。
海廷说道：“直觉主义数学家建议把数学工作作为他的智力的一种自然功能，作为思想的一种自由的有生气的活动。在他看来，数学是人类精神的产物。他运用语言，不论是自然的或形式化的，只是为了交流思想，也就是使别人或自己能懂得他自己的数学想法。这个语言伴随物不是数学的代表，更不是数学本身。”[49]
严格性的要求是合理的，然而严格的要求针对的是数学的语言，数学发现（或者说发明，在这里没什么关系）并不是靠语言内部、靠摆弄文字游戏所得到的。正如庞加莱所说：“直觉是发明的工具。”至于严格的“证明”，其作用无非是跟随在数学的创造之后，核对和纠错，确保数学创造的可靠性，并以此作为“演示”成果的手段。
许多杰出的数学家都对人们过于推崇“证明”感到不满，哈代（Godfrey Harold Hardy）不无讽刺地说道：“严格说起来，根本没有所谓的数学证明；……归根到底，我们只是指出一些要点；……李德伍德（Littlewood）和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人所编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。”[50]
甚至是《数学原理》的作者怀特海（A.N. Whitehead）和罗素也并不对逻辑和“证明”有多少好感，怀特海在一次讲演中说道：“逻辑被认为是思想发展的充分分析，事实上并非如此。它是一种绝妙的工具，但它还需要有一些常识作背景……。哲学思想的最终形式不能建立在构成特殊学科基础形式的精确阐述之上，所有精确性本身就是虚构的。”[51]
即使是完全遵循逻辑化纲领的罗素，也对逻辑极尽挖苦之能事。在《数学原理》中，他写道：“证明的一个主要优点，就是它向我们逐渐灌输对所证明的结果的某种怀疑。”他又说，人们尝试把数学建立在一个由没有明确定义的概念和命题组成的系统上，正是从数学的这一本质推知：结论可以被矛盾否认，但绝不会被证明。一切都最终依赖于直觉的理解。[52]
倾向于直觉主义的数学家勒贝格（Henri Lebesgue）说：“逻辑可以使我们拒绝某些证明，但它不能使我们相信任何证明。”[53]
《古今数学思想》的作者，杰出的数学史家、应用数学家和数学教育家，M·克莱因（Morris Kline）说到“逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不能推导出来。……逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，而不是数学依赖于逻辑。”[54]他承认，数学的严密化的结果是：“没有哪一条算术的，或代数的，或几何的定理被改变了，而分析中的定理也只是按要求更加小心地陈述罢了。实际上，这些新的公理结构和严密所作的一切，本质上都是数学家们过去就已经知道了的。确实，与其说这些公理能推断出什么定理，倒不如说它们只能承认那些现成的定理，所有这一切都意味着：数学发展不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上。正如Jacques Hadamard（阿达马）指出的，严密化仅仅是批准直觉的战利品，或者像Hermann Weyl（外尔，直觉主义者）所说，逻辑是数学家保持其思想健康和强壮的卫生学。”[55]
直觉主义将逻辑比作“卫生手段”是相当贴切的。直觉主义从不否认逻辑的重要意义，然而，好比说：直觉是数学的血液——它提供能量和动力；而感官和经验是数学的食粮，数学家们从自然中、从经验中汲取养分；而逻辑则是“卫生手段”、增强体质和防病治病的保健品和药品，帮助数学趋于稳定、成熟和完善。以这样的比喻来看，各要素间的地位关系就一目了然了，直觉使数学获得生命，经验使数学成长，而逻辑则使数学强壮。但忘记了甚至抛弃了血液和食粮，光靠药品，非但不能保持强壮，连生命都无法维持。
不过话说回来，柯朗他们似乎用不着过于忧虑，公理化运动掀起的在数学中过分崇尚演绎的风气似乎只是在哲学家或者公众中造成影响，而在最杰出的、引领着数学发展的潮流的数学家中几乎从未造成过多少干扰，就像经验主义在归纳科学基础问题上遇到的困难以及哲学家们的争执不休几乎没有对自然科学的步伐有多少影响那样。
正如M·克莱因所言“自然，数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而不是由那些长于做出严格证明的人们。”[56]古代如此，现代仍是如此，将来也不太可能有所改变。
至于形式化运动对数学的影响？不要忘了，哲学家们的对逻辑的“形式化”最开始是从对数学的学习发起的，整个数理逻辑的大获成功本来是建立在对数学的“模仿”的基础上的！形式化本来就是从数学内部发起的。总之，数学家们似乎对来自哲学的意见从不买帐。
M·克莱因戏说道：“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”[57]
直觉主义者仍旧不必心虚，真正对数学的发展起到实质性影响的“哲学思潮”恰恰正是直觉主义，直觉主义直接导致数学分成构造性数学和非构造性数学两大领域，蒯因（W.V. Quine）说到：“那些容忍并且使用非构造方法的数学家也承认，对于过去曾非构造性地证明了的定理，如果发现了一个构造性证明，就是前进了一步。”[58]
5．纯粹数学
数学本身也是直觉主义的“对手”？显然，与直觉主义从不想与“数学”敌对，然而他们希望重审和重建数学，而对实无穷的禁止与对排中律的限制导致了他们将对主流数学已经取得的大量成果造成巨大的破坏。而这其实是许多人拒绝直觉主义的真正原因，他们有时甚至没有耐心了解直觉主义的主张和思想，只是看到“数学”被如此“破坏”，便感到不可容忍了。
然而，直觉主义对数学的“破坏”究竟是否真的那么重要呢？现代的主流数学不愿舍弃的东西真的如此意义重大吗？
我们需要从现代数学的另一个显著的发展趋势说起：那就是数学的“孤立化”。
孤立化的趋势与柏拉图主义化、公理化、形式化等趋势是相互联系的。前文已提到：数学与物理实在的联系开始被割断，无论是柏拉图主义试图将数学寄托在超验世界，还是逻辑主义试图使数学投靠逻辑，或是形式主义试图将数学看成自给自足的符号体系，他们的共同努力正是要让数学不再需要依附经验科学。
这种趋势最早从数论与几何地位的颠倒开始，这一颠倒的整个过程恰恰是与近代科学的崛起相关的。
在柏拉图到帕斯卡（Blaise Pascal）的所有数学传统中，“几何学”无可置疑地是整个数学的“基础”，帕斯卡说过：“一切超越了几何的都超越了我的理解力。”[59]从毕达哥拉斯和欧几里得开始，几何学始终是算术的基础而不是相反。数学最初的公理化由几何学开始。因为几何学被是直接与物理世界相关的，是对物理空间和物理实体的数学抽象，人们靠表达式的“几何意义”来理解算术。例如，长期以来数学家们都不愿接受3次方以上的幂运算，因为那没有空间意义！
自从笛卡尔发明解析几何以来，情况被整个地颠倒过来，人们首先是接受了算术的独立性，认为算术的意义也是自明的，例如在康德那里，算术与几何直观的地位是平等的。最后非欧几何的兴起给了决定性的一击——人们变得不再能“理解”几何了！于是，失去直觉支持的几何学只得投靠算术。
而算术的特点是：它是最为远离现实的。事实上，在1900年以前，在全部数学分支中唯一的算得上“为数学而数学”，或为追求“美”而探索的“纯粹数学”正是数论。而数学的其它所有分支，不仅始终与实际的经验科学紧密相联，甚至这些分支的创建往往本来就是为了处理某些物理问题的——甚至连非欧几何都不例外！触发高斯（Gauss）等人提出非欧几何时的思路并不是“嘿！把这条公理换掉，看看我能搞出什么！”，而是“物理空间真的是欧氏的吗？”，为此高斯还特意利用三个山峰进行实地测量。
正如M·克莱因所说：“对于1900年以前所创建的数学，我们可以得出一般的结论：存在纯粹数学，但不存在纯粹数学家。”[60]所谓“纯粹数学”就是数论，然而数论往往只是那些大数学家们业余消遣的玩物，甚至连其它数学领域也往往不是数学家们的正务，他们的职业往往是天文学教授、物理学教授等。
当然，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”，数论中的难题被誉为“皇冠上的明珠”等待着最伟大的数学家摘取。这象征着什么呢？——“皇后”象征着“高贵”、“至美”，数论的高贵令人陶醉和迷恋。然而这并不意味着高斯认为数论是数学的根源、数学是科学的根源。事实毋宁说是相反。正如整个科学不会是源于数学这个皇后，而是源于自然、源于经验；数学的根基则在于自然科学，而不是高高在上的数论。
而到了现代，由于算术与几何的地位交换，数论成了整个数学的“基础”，这也难怪现代数学正变得越来越“高傲”和“自满”了。
结果是：到19世纪末，盛行的看法是：数学里的一切公理都是任意的，公理只不过是导出结论的推理的基础。既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了。当公理与实在之间产生某种联系的时候，这种物理意义至多只能是发现（真理）的向导。即使是从物理世界抽象出来的概念也是这样。[61]
在现代，认为数学独立于经验、超然于自然科学的观点成为了数学界的主流，M·克莱因无奈地说：“现在常可听到和谈到数学家们关于独立于科学的论调。数学家们现在已经可以毫不犹豫地、随随便便地说，他们只关心数学本身，而对科学没有兴趣。虽然没有精确的统计，但今天活跃在数学舞台上的数学家中，约有90%的人都无视科学并且陶醉于这种至福境地。尽管有历史的佐证和一些反对之声。但是，抽象主义趋势，为了一般化而一般化的趋势以及研究随意选择的问题的趋势愈演愈烈，说什么这是为了更多的了解具体事例而研究一整类问题的合理需要，是为了得到问题的实质而进行抽象化的合理需要，都不过是一个借口，他们的目的只是为了研究一般化、抽象化。”[62]
作为19世纪末数学界的领袖，庞加莱和F·克莱因（Felix Klein）都预见到了这种趋势，并为之深感忧虑。F·克莱因在1895年说道：“在现代思维的急速发展中，我们禁不住要担心，我们的科学面临着越来越独立的危险。自现代分析兴起以来，对数学和自然科学双方都有裨益的二者之间的紧密联系，正面临着被破坏的危险。”[63]
人们可能不容易理解直觉主义竟对数学与自然的关系如此注重，事实上，这一立场从直觉主义的先驱者开始始终是一贯的。不愿意与自然相割裂正是直觉主义者抵触逻辑主义和形式主义的重要原因（或许是最重要的动机）。庞加莱说道：数学“不必单只为了自己的缘故而永久地注视自己的肚脐；它与自然相联，而且必然会有回归自然的一天。那时必然要将这些纯语言的定义抛弃，而且不会再为这些空洞的词语所蒙蔽。”“逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜利，这是一定的，并且永远不会停止。”[64]
另一位直觉主义的先驱者：克罗内克[65]曾写信给亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz 德国物理学家，能量守恒定律的提出者）时说道：“您的合情合理的实际经验以及有兴趣的问题，造成的财富将给予数学以新的方向和新的刺激——片面的、内省的数学思索把人们引向不毛之地。”[66]
现代另一些大师级的数学家也从不忽视对自然科学的重视。前文已经提到过，希尔伯特在转向数学基础问题之前正在钻研的正是物理学的问题；而冯·诺依曼也指出：“无可否认，数学上某些最了不起的灵感，那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中最好的灵感，全部来源于自然科学。”[67]
然而，大师的追随者们总是不及大师们清醒，“纯粹化”、“孤立化”确实是现代数学发展的潮流，甚至于在数学家中，“应用数学”简直已经成为了一个带羞辱性的词语，被那些“纯”数学家用来指责那些“不务正业”、“误入歧途”的人，对此本身作为应用数学家，在电磁学方面颇有造诣的M·克莱因深有感触，他不无抱怨地说道：“不对它所服务的客观对象加以考虑，势必导致它的自我终结。纯数学本身不是一个至福境界。数学的目的在于发现值得了解的事物，但是，按照目前的情况，研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问意义和目标。数学不能被现实的俗物所沾染，厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。”[68]
笔者无意指责所谓的“纯粹数学”，在另一些场合里笔者将对为数学而数学的纯粹数学致以最高的赞美，正如我们赞美诗歌和艺术那样，谁能说艺术活动毫无意义呢？人类存在的意义并非必须与“实用”有关。然而，为了自我满足、自我陶醉，离开自然科学与现实世界，在纯粹数学的象牙塔中孤芳自赏——这种倾向确实是不健康的。因为数学与自然的联系不再那么清晰和确定，数学不再能提供绝对的客观真理，就干脆不再在意它们的关系，这无疑是一种懒惰和逃避。
笔者提到过，直觉主义确实主张数学是人类心智的构造，但他们从未宣称人类的心智与自然无关。关于“数”的先验直观来自于“时间”，追根溯源，说到底一切科学还是来源于自然的。科学最终也必须回到自然中去。
直觉主义的几位代表人物都很重视应用数学，外尔更对数学物理做出了大量的贡献。他说道：启发式论据以及其后爱因斯坦广义相对论中的系统结构，或者海森堡—薛定谔的量子力学是多么令人信服并接近事实啊！一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支，并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展，就如同对待物理学一样。”[69]
外尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：“自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这便是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史上，这种内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。”[70]
我们经常称直觉主义为“先验论”，这严格说来不算错。但问题是：说“整数的概念是先验的”并不代表一切都是先验的。另外，直觉主义并未宣称“先验的”就是绝对的、必然的。正如经验主义承认经验是可错的，直觉主义强调直觉的有限性和可错性并不奇怪。
在《数学与自然科学的哲学》一书中，外尔补充道：“如果没有一种对真理和现实先验的信仰支持，如果在事实和结构与思想的意象之间没有持续不断的相互作用，那么，科学便会枯萎死去了。”[71]这或许点明了直觉主义究竟在何处诉诸先验——他们并不是认为“先验”能够提供绝对必然的真理，事实是，“先验”提供“科学”，没有先验的直观、直觉和信念，“科学”便难以成立，例如，对整数的先验直观是数学得以成立的基础；对矛盾律的直觉是逻辑的基础；对自然的“实在性”的信念是科学的基础等等。但由“先验”提供的也并非绝对必然的东西，直觉本身也源自自然，所以自然才是最终的裁判。这就意味着直觉也是可错的，直觉主义者据此才进一步指出：“排中律”这样一种“直觉”也是来自于经验事物，这种“直觉”源自人类对有限事物的经验长期的归纳，然而当对象从有限变为无限时，这种思维习惯便不再有效了。我们看到，直觉主义的主张自始至终都是环环相接的。
前文也已提到过，直觉主义不仅重视数学与自然科学的联系，更强调数学本身就是自然科学，一切真理都来自于经验，而自然是对科学理论唯一的、最终的裁判。
当然，自然的权威是得到许多论者的支持的，蒯因说过：“我们将采取看待自然科学的理论部分的方式来看待集合论与整个数学。这些真理或假设与其说是为纯粹的推理所支持，还不如说是对自然科学中经验数据的组织所做的见解的、系统的贡献。”[72]M·克莱因则提到：“人们现在知道数学基础的不确定性以及对数学逻辑的疑问即使不能够被解决，也可以通过加强它在自然上的应用来回避。”[73]哥德尔也想到了相关的问题：“除了数学直觉以外，存在数学公理真理性的另一（虽然只是或然的）判据，即它们在数学中，或许还可以加上再物理学中，是富有成果的。”[74]
那么，自然的判据对哪一方有利呢？看上去强调数学的应用性是对直觉主义者不利的，因为论成果的“丰富”，直觉主义数学远远不能与经典数学相比。
然而，首先需要指出：哥德尔所言“在数学中是富有成果的”这一方面，如果只是看纯粹的数学本身的成果，对直觉主义毫无疑问是极为不利的，因为直觉主义数学可能得到的几乎所有成果都可以由经典数学得出。但是直觉主义对现有的数学体系“破坏太大”来驳斥直觉主义并不令人信服。联想一下“占星术”的火热吧——占星术的历史几乎与天文学一样悠久，而当今世界上“星占学”的“研究者”和“学习者”大概比天文学家还多（至少在美国，占星术师的数量比起天文学家占压倒性优势），其学说理论无疑也是“发展得非常丰富”。但科学家们会认为那一切都是从一开始就走错了方向，其最基本的预设：“人的命运与星象有关”就是错误的！在错误的预设下发展起来的理论，其成果越多只能意味着其谬误越多。
如果否定了占星术的前提，千百年来被辛辛苦苦建立起来的庞大的理论体系便要垮台，无数占星术师将“无事可做”，牺牲太大啦！——这样一种对占星术的辩护是有理的吗？那么对数学的辩护呢？
直觉主义者认为：直觉主义数学固然远比经典数学“贫乏”，但却包含着更多的真理！
那么在物理学中的应用呢？客观地说，直觉主义的应用数学确实也比不上经典数学成绩斐然，不过简单的原因仍是：所有直觉主义的数学成果几乎都可以看成是经典数学的成果。或许正如笔者在下文中江要提到的，在量子物理学中直觉主义会拥有某些优势，但在这里预先承认：这些可能的优势也主要是在思想和理解方面的，而不是在实用方面。
但是，必须在认可实无穷才能得到的成果真的有很多实际的应用吗？在物理学上应用广泛的微积分是可以用潜无穷而不用诉诸实无穷来解释的——这正是微积分的创立者们的坚持。至于另一些反直觉的结论，例如“可以把一个球切割成有限份经简单的平移和旋转重新组合成两个一模一样的球”——即巴拿赫—塔斯基悖论（Hausdorff-Banach-Tarski paradox），一旦认可选择公理，这即成为一个数学定理——可能会在任何时候有什么实际应用吗？要真能开发出这种比炼金术还诱人的无中生有的技术倒是真不错，但谁都知道这是不可能的。许多数学家们甚至不觉得这个定理有任何麻烦之处，反而经常以此为例来强调数学的奇妙：“你看，在现实世界中那么荒唐得的事情，在数学世界中却被证明了。多神奇！多美妙！”笔者承认，若要向门外汉展示一些数学中引入入胜的案例以激发他们的好奇心，分球怪论之类确是很好的题材，但若要向分配科研预算的官员解说我的数学研究除了自娱自乐以外还有没有什么本领时，相比于“我能把石头炼成金子！”来说，“我能把一个搞成两个！”也不是多么值得炫耀的事情。
M·克莱因更是以数学史家的权威提醒道：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响，上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的。”[75]对于现代数学从实无穷中得到的丰富而巨大的“成就”，为之沾沾自喜还言之尚早。
对直觉主义者来说，舍弃那些看来美好的成果，“非但没有付出代价，而且是大获全胜，因为逻辑、数学、认识论、语义学和形而上学终于都取得了和谐一致。”[76]
最后值得指出的是，直觉主义与主流数学的矛盾并不是不可化解的。按照直觉主义的主张，经典数学在另一种意义上也是值得保留的。许多有价值的定理都是先发现了一个非构造性的证明，引起关注后经进一步的研究后找到了构造性的证明。即便说非构造性的证明“不合逻辑”，正如直觉主义本身强调逻辑并非一切，直觉和创造力在数学发展中具有重大意义那样，直觉主义者至少可以承认经典数学的启发性的意义。
事实上，许多直觉主义的倡导者们，例如克罗内克、布劳威尔和外尔，在他们的实际的数学研究工作中常常如庞加莱所说，“忘记了他们的哲学”，他们自己取得的许多数学成就正是不符合直觉主义数学的。我们不该指责他们心口不一，事实上，他们仍是思想一贯、言行一致的，他们以直觉作为研究的动力和根本，以自然作为研究的追求和归宿，至于逻辑，到最后再用它回头来做检查吧。
1．非欧几何
前文提到，非欧几何的建立在某种意义上正是触发现代的公理化运动，引出关于数学基础的争执的导火索。事实上，以不同的方式去理解，非欧几何也可以看作是对逻辑主义或形式主义有利的。反而，非欧几何往往被视作对先验论的致命打击，对于同情康德的直觉主义者而言，这似乎是一个不利的因素？
如果将直觉主义的主张曲解成“真理由直觉提供”，非欧几何的出现无疑是对该主张的打击。事实上，正是这种理解，使得许多论者认定康德的先验论为失败。当然，在康德本人那里，他大概确实曾希望从直觉那里寻找确定无疑的绝对真理的依托，而且在康德的时代，这个空间是欧氏的还是一个理所当然的事情，康德为欧氏几何的必然性作辩护也是情有可原的。然而，以“空间不是欧氏的，所以康德错了”来反驳先验论，是不是过于轻松了呢？
康德的贡献在于：他想到了知识的“确定性”也可以“先验”提供。如果“康德认为几何学概念来源于‘先验’，而康德认为唯一正确的欧氏几何其实不是绝对正确的——只是真实空间的近似，所以宣称几何学概念来源于‘先验’是错误的！”——这样的反驳能够成立的话，那么下述的反驳也可以成立：“过去人们认为物理学知识来源于‘经验’，而过去人认为唯一正确的牛顿力学其实不是绝对正确的——只是真实世界的近似，所以宣称物理学知识来源于‘经验’是错误的！”为什么较少有人同意后一组论断，而许多人都认为前一组论断确实驳倒了先验论呢？
非欧几何并不能作为对先验论的有力反驳，更不用说可能对直觉主义有所威胁了。
事实上，非欧几何反倒可以成为对直觉主义的支持。直觉主义强调直觉，强调数学是人类心智的创造，但他们也强调数学以及逻辑，如自然科学一样，都是可错的！恰恰是因为它们是人类心智的创造，所以它们一定是可错的、可变的、发展的。非欧几何正是一个例子，它说明了某些人们长期以来认定无疑的东西竟然是可更改的，甚至是与物理实在不符的。尤其是，非欧几何的颠覆发生在数学之上，这比起物理学、天文学上的革命而言，有着更为特别的意义。
人们了解到自然科学不提供绝对真理之后，仍幻想着数学仍旧是确定无疑的、绝对而不可更改的，然而现在人们已知道，数学也不是绝对的、唯一的。最后一部分人选择了投靠于逻辑学，依旧幻想着在逻辑学中找到绝对的确定性。但人们为何不更诚实一些、谦逊一些呢？为什么不承认凭人类的有限的心智永远只能够掌握相对的，而不能够掌握绝对真理呢？什么地方都找不到绝对真理，这是由人类的有限性决定的，为什么一定要将数学或者逻辑学认作“例外”不可呢？
虽然直觉主义并非基于以下理由而质疑排中律，但我们确实可以如此联想：正如平行公设不是绝对的，排中律也不是绝对的，因为它们都来自于对经验的抽象。
另外，顺便说到：相对论已经证明真实的空间是非欧的吗？其实不然。庞加莱在爱因斯坦之前就已掌握了建立相对论的全部思想准备（爱因斯坦就像是牛顿，一个集大成者），他也早已发现：用非欧几何处理物理空间可能是更为“便利”的，然而这不代表欧氏几何不能用来处理符合相对论的时空，只要认为物体（例如度量距离的尺子）在引力的作用下会产生收缩，就能够以欧氏几何等价地描述非欧的空间，两者的差别只是计算的便利程度上的。关于“等价描述”以及数学与物理实在的关系等问题，在下文还将论及。
2．各种逻辑悖论
正是罗素悖论的发现引发了所谓数学基础的“危机”，相关的各种语形、语义悖论让逻辑学家、数学家和哲学家都深陷困境。类型论方案、公理集合论、NBG系统、蒯因的NF和ML系统等等，学者们为消除悖论用尽浑身解数。这些努力都是很有意义的。不过这里要讨论的是直觉主义方案的特殊地位。
首先，正如贝奈斯所指出的：“人们必须考虑，悖论的这些缩略形式是通过探究绝对柏拉图主义的多种要求的推论而得到的。”[77]集合论悖论确实与对数学对象的柏拉图主义式的理解有关，而直觉主义通过其构造性数学，最干净和彻底消除了柏拉图主义。由于禁绝了任何形式的“实无穷”，十分轻松地化解了集合论悖论。相比于其它或多或少带有一定的特设性——也就是看起来只是为了应付悖论而特别建造起来的理论而言，直觉主义的优势是明显的。谁都不能否认直觉主义在解除集合论悖论上的“干净利落”，人们只是从“破坏太大”的角度来拒绝直觉主义的解悖方案的。
进而，很多人并未注意的是，直觉主义不仅化解了集合论悖论，即各种语形悖论，更一劳永逸地防止了各种语义悖论。
所谓语义悖论，主要是在逻辑和语言中提出的问题，例如说谎者悖论及其各种变种。最简明的形式是：“这句话是假的”。
对排中律的限制使得语义悖论无所立足。需要注意的是：对排中律的修改反而不一定能够解决语义悖论，事实说明，“各种用多值逻辑和真理间隙论来对付悖论的方案都是一厢情愿的空想，因为它们都不能摆脱各式各样的‘强化的说谎者悖论’，例如……‘本语句不是真的’。”[78]
多值逻辑是真正的反排中律者，然而直觉主义逻辑并不是多值逻辑，它仍旧是二值逻辑，如前文已述，它的特别之处只是在于“对怎样的语句谈论真值才是有意义的？”提出了更高的要求。
于是，直觉主义认可归谬法，但不认可反证法，亦即承认“若P，则非非P”，但不承认“若非非P，则P”，在这里，对“本语句不是真的”来看，假设这句话是真的，得到这句话不是真的，矛盾。由此说这句话不是真的是可以的。然而由这句话不是真的，代入后又导致的矛盾，只能说明“这句话不是真的”不对，而不能推回去说这句话是真的。于是最后得出的只是“这句话不是真的”、“这句话不是不是真的”、“这句话不是不是不是真的”……而永远不会得到矛盾。这里的关键是：直觉主义说“这句话不是真的”时，并没有断言“这句话不是真的”这句话就是真的。事实上，“这句话不是真的”意味着这句话或者是假的，或者是“不能判定的”。然而一旦宣称“P是不能判定的”，这句话本身也完全可以是不能判定的，当承认“P是不能判定的”这句话是不能判定的时，恰是意味着“P”正是不能判定的。同样地，“‘P是不能判定的’这句话是不能判定的”这句话，也可以是不能判定的，这样下去只是导致一系列形如“‘P是不可判定的是不可判定的是不可判定的……’是不可判定的”这样的句子都是不可判定的，但这并不会在任何地方遭遇矛盾。
习惯于经典逻辑的思路，对直觉主义的解悖能力有所低估是很自然的事。普特南有过类似的误解，他曾经在漫不经意间点出了构造主义思路中的一个“矛盾”：
在《没有基础的数学》一文中他写道：附带要提的是，我想说明，似乎被许多人接受的以下两个原理可用哥德尔定理示明为不一致的：
（I） 即使某些算术（或集合论）陈述没有真值，称任何算术（或集合论）陈述具有（或没有）真值，本身依然总是非真即假（即这陈述或具有真值，或没有真值）；
（II） 所有而且仅有可判定陈述具有真值。
因为数学陈述S是可判定的这一陈述本身可能是不可判定的。因此根据（II），说“S是可判定的”没有真值。但是根据（I），说“S具有真值”是有真值的（实际上为假，因为根据（II），如果S具有真值，则S是判定的，而如果S是可判定的，则“S是可判定的”也是可判定的）。因为说“S具有真值”与“S是可判定的”等价，所以“S是可判定的”也必定为假。但是说“S是可判定的”是没有真值的。矛盾。[79]
首先，很明显地，普特南在揭露这一“矛盾”时从头到尾使用的都是经典逻辑的思路，提取出直觉主义的主张后用经典逻辑来加以分析当然可能导致矛盾。一方面，直觉主义者并不像逻辑主义者那样，把逻辑的判定至于最高的地位，以为一切正确的东西都是从逻辑里头导出来的，直觉主义者的主张，例如“仅有可判定陈述具有真值”，并不要求是居于其逻辑系统内部的。“真值”是一个逻辑学中的概念，但逻辑学不包含全部的真理，语句的意义也并非由其真值条件提供。我们应当认为“仅有可判定陈述具有真值”是合理的，但不必定要为它在赋予一个真值，更不必定要把这一命题引入到逻辑演绎的体系中去。另一方面，普特南的分析并未对排中律加以限制，他在论证“S具有真值”是有真值的时候，只是先假定它具有“真”的真值，推出矛盾，便宣称它具有“假”的真值，但直觉主义认为只有在“有真值”（可判定）的条件下排中律才有效。正如前文已经指出的：即便说“P是不可判定的”是不可判定的，这一陈述仍然是有效的。
甚至，按照直觉主义的思路，对于许多新近发现的新型悖论，例如“突然考试悖论”等语用悖论，也可以轻松予以化解。在本文就不再展开讨论了。基本的决窍仍是对反证法的限制，类似地，直觉主义者并不要求对“我不知道（能推理出）P”赋予一个真值，“我不知道我不知道P”和“我不知道P”并不矛盾。
陈波老师提到：“悖论的产生与三个因素有关，即自我指称、否定性概念以及总体和无限。尽管不能说这三个因素一定导致悖论，但悖论中一般含有这三个因素。”[80]如果说“总体和无限”真是产生悖论的必要条件之一的话，直觉主义已杜绝了这一条件成立的任何形式。认为直觉主义是化解各种悖论的“一揽子方案”并不是不能置信的事，相反，在以如此的方式限制了反证法的情况下，某个语句一旦归结为“不可判定”的便不再会引起冲突的情况下，还会出现怎样的悖论？这倒是难以想象的。
总之，在其他逻辑学家、数学家和哲学家们为应付悖论忙得焦头烂额的同时，直觉主义几乎是不费吹灰之力地大获全胜！
3．哥德尔定理与连续统假设
之前提到：数学的严密化、逻辑化、公理化、形式化等等——“这些新的公理结构和严密所作的一切，本质上都是数学家们过去就已经知道了的。确实，与其说这些公理能推断出什么定理，倒不如说它们只能承认那些现成的定理。”[81]不过这一论断看来是不确切的，公理化运动着实也带来了一些数学家们过去并不知道的东西，甚至是在思想上最具震撼性和革命性的东西，例如鼎鼎大名的哥德尔不完全性定理，大概算是数学基础领域取得的最高成就。不过这似乎更是某种讽刺……
哥德尔在1931年题为《论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统》的文章中揭示了其惊世骇俗的结论。
哥德尔不完全性定理表明：如果一个形式理论足以容纳数论且一致的，则一定是不完全的。也就是说，如果一个形式系统不是自相矛盾的，就一定有在其系统中有意义的陈述，无法在该系统内部得到证明。这直接摧毁了希尔伯特“一切问题都是可解的”这一梦想。同时，这一定理的一个推论表明：任何包容整数的算数的数学系统的一致性不可能通过当时的几个基础学派——包括逻辑主义、形式主义与公理集合论——采取的逻辑原理而建立。
这一结果或许对直觉主义而言也是意外的，早前直觉主义在反对形式主义时，认为即便你的形式系统确实被证明为一致的，也不能说明什么问题。但现在，直觉主义的优势无疑更多了一筹。
说得专业些，根据哥德尔的定理，“一个形式化理论的一致性证明不能用所考察的形式体系来表示。—……用初等组合的方法去证明一个能表达一个算术命题的每个初等组合证明的形式化理论的一致性，是不可能的。”[82]
而直觉主义主张整数的先验性，他们的主张是是整数而不是逻辑才是最基本的，而且直觉主义的构造性数学无疑更为可靠，这使得直觉主义成为了支持数学的一致性的一条出路，贝奈斯提道：“假定情况是如此的，我们就达到了这样的结论：需要有比初等组合方法更有力的方法去证明公理数论的一致性。哥德尔和根岑的一个新发现把我们引向这样一种更有力的方法。他们已经（互相独立地）证明直觉主义算术的一致性蕴涵着公理数论的一致性。这个结果是用了海廷对直觉主义算术和逻辑的形式化而得到的，论证是用初等方法以一种相当简单的方式进行的。为了从这个结果得出公理数论是一致的这一结论，假定直觉主义算术的一致性就够了。”[83]
当然，即便没有直觉主义的帮助，人们也都确信数学不可能不是一致的，于是问题就是：数学一定是不完全的！
表现不完全性的具体案例稍后被证明：那就是希尔伯特自以为已经解决的“连续统问题”。在哥德尔等人的努力下，证明了：无论是接受还是否认连续统假设和选择公理（连续同假设蕴含选择公理），在原有的数学系统下都是一致的，也就是说，连续统假设和选择公理是不可判定的，它们就像欧几里得的平行公设那样，接受连续统假设，或者以不同的方式不接受它，都可以建造出一致的数学系统来。
连续统假设是什么呢？简单说来就是：“不存在实数的无限集，它既不与整数集，也不与所有实数的集合等价。”也就是说：不存在一个集合，其元素比整数集多，但比实数集少。当然，在直觉主义那里根本不存在这一问题，因为他们根本不承认“实数集”作为一个完成了的无限集合的合法性，他们顶多只是有条件地认可对“所有整数”进行的讨论而已。
但对于经典数学而言，连续统问题却是具有重要意义的。在经典数学中，连续统问题的表述完全是合法的，它建立在将“所有‘实数的集合’”、“‘所有实数’的集合”等概念视作完成了的集合这样一种经典数学的实在论的基础上，而且，其中并不涉及可能导致悖论的自指和大全集等，按照经典的看法，连续统假设是有真值的，它非真即假。选择公理也是同样，如果能像上帝那样一下子对无限个集合进行处理，它理应是成立的：选择公理说的是如果将一个集合分割成若干部分，就可以从其中的每一部分选出一个元素组成一个新的集合，这对于“若干”只是有限个的情况下显然成立，比如我们可以把一个学校的学生分割成由若干个班级的组合，就可以把每班的班长选出来组成一个“所有班长的集合”，然而如果班级数是无限时，这便不再是能够在数学系统内得以自明的事情了，否认这公理并不会产生矛盾。相反，接受这一公理倒会带来一些看来荒唐的结论，例如前面提到的巴拿赫—塔斯基分球怪论。
否认它是违反直观的、不自然的，而接受它是无矛盾的、在推导中有效的——这正是形式主义为其选用的“公理”作辩护的惯常理由。然而现在针对选择公理，人们也可以说：接受它将导致违反直观的、不自然的东西，而否认它是无矛盾的。
由于选择公理虽然在经典数学中应用广泛（在被策梅罗示明之前通常是不自觉地使用的），但确实带来许多困惑和怪论，使它成为了仅次于欧几里得平行公理之外被讨论最多的一条公理，反对选择公理的远不限于直觉主义者。然而直觉主义者对选择公理的反对是天然的，与其主张一贯的，在选择公理和连续统假设等问题让其它学者们忙得团团转之前，在这些问题还未被关注之前，就早已预防被直觉主义预防了，集合论—逻辑悖论的接连发现、哥德尔定理、连续统问题以及下文将要提到的勒文海姆—司寇伦定理等等，可以说让数学基础各流派的数学家和哲学家们“应接不暇”，虽然不能说其它的应对策略都不成功，但总有事后补救、重整旗鼓的感觉。论思想和主张的连贯一致还没有哪一派能与可以说是“以不变应万变”的直觉主义相比。
4．勒文海姆—司寇伦定理
这是“由勒文海姆（Leopold Lowenheim）1915年开始的，通过从1920年到1933年之间斯科伦（Thoralf Skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷。”[84]
勒文海姆—司寇伦定理说，可满足的一阶理论（使用可数语言）有一个可数的模型。[85]
也就是说，当我们为集合论语言选取一个可数模型时，将出现一些在“相对意义”上不可数的集合，
从一个模型的角度看来是“可数的”集合，从另一个模型的角度看来却可能是不可数的几何。正像司寇伦所总结的，“在公理集合论范围内，甚至‘有限’、‘无限’、‘简单无限序列’等概念原来也是相对的。”……“集合的直觉概念”，是形式系统无法“捕捉”的。[86]
以上的介绍有些专业化，M·克莱因提供了一个较形象的比喻：“假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻画了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。……，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。”[87]
司寇伦的悖论就是“按图索骥”的数学版：遵照一幅据信是刻画了千里马的特征的相马书，结果竟发现一只癞蛤蟆符合书上所列的各项特征！勒文海姆—司寇伦定理意味着无论多么认真详尽地编写这本相马书，无论多么仔细地对数学对象们进行刻画，永远不能避免出现这样的实质性的歧义。
这有力地诠释了直觉主义的主张：凡是“语言”必不能避免相对的“模糊性”，即便是数学或逻辑也不例外！
即便是反对直觉主义的人，也很难否认这是一项支持直觉主义主张的成果：经过对自己的结论再三考虑之后，司寇伦在1923年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯·诺伊曼也在1925年表示赞同他自己的公理以及其他关于集合论的公理系统全部贴上“不真实的标记，……集合论不可能无条件地公理化。……既然算数、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样的假定，那么也就必定不存在无条件地公理化无穷系统。”这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据/”[88]
普特南表示，“两种极端的观点——柏拉图主义与实证主义——似乎都能从勒文海姆—司寇伦悖论中得到安慰；只有‘温和’的观点（它试图避开‘领悟’‘数学对象’的神秘能力，同时保留经典的真理概念）困难重重。”[89]“令人惊奇的事实是，在数学直觉主义者看来，这整个问题根本不存在。着可能不会是司寇伦感到吃惊：他的结论正是‘大多数数学家希望数学处理的最终是可施行的计算操作，而不希望数学由关于某某对象的形式命题组成。’”[90]普特南进一步承认，即便当直觉主义者一旦成功地掌握了一种足够丰富的语言作为某理论T的元语言。进而甚至能够按照塔斯基那样定义“在T中真”以及讨论在T中的“模型”等等时，“司寇伦”悖论也不会再次产生！因为在直觉主义那里：“指称是通过涵义给出的，而涵义是通过验证程序而不是通过真值条件给出的。理论与‘对象’之间的‘鸿沟’简直就消失了——或者毋宁说它本来就从未出现过。”[91]
普特南最后的选择是——趋向某种所谓“放宽的直觉主义”，他试图既保持直觉主义的主要思想，又不至于“破坏”经典数学，但这种“两全其美”的梦想能否实现呢？在本文不再详述了。总之，结果是：非直觉主义者在向直觉主义者靠近，而直觉主义者只要始终重审他们一贯的主张就行。
5．量子力学
自然是最终的裁判。我们看到，直到爱因斯坦提出相对论，显示出非欧几何对处理物理空间的意义时，非欧几何的地位才算是真正稳固下来。那么，对排中律的限制是否也有在物理学中得到“印证”的迹象呢？
首先应当承认海廷所引述的论断：“强调它在物理学中可能有些用处的少量微弱迹象还言之过早，”[92]笔者也并不打算“强调”什么，但确实有那么一些“迹象”表明至少是直觉主义的哲学思想在理解量子物理学的“佯谬”时有一定的意义。在这一节中，笔者先对量子力学中的一些问题进行最简单的介绍，而在下一章讨论数学与物理实在的关系时将继续对这些事例的探讨。
量子力学是20世纪真正意义上的物理学“革命”，它的颠覆性影响甚至比相对论要深远得多。或者说，相对论根本算不上“颠覆性”的，正如牛顿并不是一个颠覆性的革命家，而是一个将思想进行整合和系统化的集大成者，爱因斯坦的地位与之相似。因此，相对论在物理学家中间几乎从未引起过多少争论（在民间恰好相反），量子力学的震撼显然要大得多，爱因斯坦正是第一个挑起争论的人，而这场争论直到今天仍未见有任何明朗化的势头。
量子力学的难以理解是举世公认的，量子力学的创始人之一，波尔（Niels Bohr）说到：“谁不惊异于量子理论，谁就没有理解它。”在20世纪下半叶的地位可与在前50年的爱因斯坦相提并论物理学家的代表，费曼（Richard Feynman）说：“如果有人说他懂量子力学，那他是在撒谎。”惠勒（John Wheeler）说：“量子是我们知道的最难理解的谜。我一生从未像今天这样陷入困境。”事实上，量子力学如此令人惊异，正是因为在那里，经典的逻辑似乎都失效了！
为了节省篇幅，笔者在这里仅叙述一个最具代表性的实验：双缝干涉实验：
“波粒二象性”大概至少在知识分子中间是一个妇孺皆知的概念了，说的是基本粒子：如电子、光子，“既是波又是粒子”。下面这个简单的实验就能显示这一奇妙的二象性：
双缝干涉实验是一个在中学物理课就遇到的简单实验，它揭示了光的波的特性：让一束光通过两条并排平行的缝，在缝后适当地放置光屏，便可以观察到明暗相间的干涉条纹。其中的暗条纹正是由于两个缝的相干波的波峰和波谷相互抵消造成的。用电子实验也可以观察到干涉条纹，这证明电子也是波。
然而我们又知道能量是非连续的，光是由无数小的不可再分的“光子”组成，电子当然也是如此。那么，每次只发射一个粒子呢？它如果通过了双缝，就可以在光屏上留下一个小点，这显示了其粒子性。
如下的想法似乎是显然，如果一个粒子通过了双缝到达光屏，那么它“要么是通过了A缝，要么是通过了B缝。”正如一个粒子在光屏上只能留下一个点那样，它不可能同时通过两个缝！
那么，依次放出100个粒子打在光屏上的效果，应该等价于先关闭A缝，放50个粒子通过B缝；再关闭B缝，放50个粒子通过A缝的效果吧？
以上的分析是完全符合逻辑的。然而，事实是：虽然1个粒子打在光屏上只是一个点，而足够多的点显示在同一个光屏上也会显示出整体的图案来。实验的结果是，如果始终打开双缝，让足够多的粒子依次通过，最后屏幕上所形成的图案仍是干涉条纹！
我们知道，干涉条纹是波的现象，是波同时通过双缝而互相干涉的结果，而一个粒子通过双缝是是怎样发生干涉现象的呢？难道是自己和自己干涉吗？难道一个粒子能够同时通过两个缝吗？
然而，如果我们试图检查粒子通过双缝的情况，例如在其中一个缝上安置一个监测器，结果仍旧是：粒子“要么是通过了A缝，要么是通过了B缝。”但是，一旦采取了这一观测，最后在屏幕上得到的就再不能是干涉条纹了，而变成了简单的叠加，即“先关闭A缝，放50个粒子通过B缝；再关闭B缝，放50个粒子通过A缝的效果”！
或许更令人困惑的是：经过改进的（例如用半透镜代替双缝）实验——所谓“延迟实验”——可以让“在中途是否进行观测”的决定延迟到粒子已经通过双缝之后才作出！也就是说：最后有没有发生干涉现象，也就是“粒子是怎样通过双缝的”，可以延迟到粒子实际已经通过双缝后，再由实验者决定！
这并不是天方夜谭，也不是假说，而是已被实验证实的事实。费曼说道：“量子电动力学理论，按常识的观点，把自然描述为荒谬的。但它与实验完全一致。因此，我希望你们能接受自然的现状——荒谬。”
爱因斯坦不能容忍传统的实在论世界的破灭，在他的有生之年内坚持不懈地对量子力学提出反驳。而他的反驳最终都是失败的，尤其是他为揭示量子力学荒谬性所提出的思想实验——EPR佯谬，在1982年最终由阿斯派斯特做出无可置疑的实验予以证实！也就是说，爱因斯坦寄希望以思想实验的荒谬结果（好比伽利略关于高塔落球的思想实验）来反驳量子力学，但这个实验的有利于量子力学的结果竟被实际地完成了证实——量子力学的荒谬性得到了证实。虽然例如帕斯（Abraham Pais）宣称即便爱因斯坦在1925年后改行钓鱼也不会给物理学造成什么损失，但客观地说，爱因斯坦的反抗对促进量子力学的发展是很有意义的。不过相当一部分哲学家对量子力学的反抗却是极其拙劣的，他们反感于量子力学的荒谬性，急于挽回失落的经典的实在世界，然而，他们的对手不再是“纸上谈兵”的哲学家，而是科学家，他们手中拥有艰深难懂却又极其成功的庞大理论，并拥有坚实的实验数据为立足，这些并不是哲学家们可以相比的。
然而，直觉主义（很少见直觉主义者对波粒佯谬的讨论，因此从这里开始，相关的观点都是笔者，作为一个临时的直觉主义者提供的）又是最特别的：他无须与科学家们正面对抗——因为他们不用反对任何一条量子力学的结论，但同时也可以在远离超自然和神秘主义的条件下消除波粒佯谬在“逻辑”上的荒谬性。
很简单：“要么是通过了A缝，要么是通过了B缝。”——这是排中律的使用。直觉主义主张说：排中律并不是绝对真理，而是从经验中、从思维习惯中归纳和提炼出来的，它在我们之前遇到的所有经验中总是有效，不能表示它在我们遇到一个前所未有的问题时仍旧有效。例如，对有限事物有效的排中律不能直接推广到无限上；又例如——对经典世界有效的排中律不能直接推广到量子世界！
那么，为什么说排中律不能简单地适用于量子世界呢？理由也很简单——与直觉主义一贯的思想是完全一致的——“存在必须被构造”！
前文提到，直觉主义在数学是“构造主义”的，说一个数学陈述有真值，必须能够在原则上是可能行地被判定的。现在，我们把这种思路推广到物理学上：说一个物理学陈述是有真值的，必须能够在原则上是可能行地被判定的。
“在原则上”是什么意思呢？举例来说，如下的断言都是得到支持的：“银河系的中心要么有一个黑洞要么没有。”“太阳在50亿年后要么灭亡要么没有灭亡。”——即便说人类的技术力量难以验证亿光年之外的事情，人类的寿命也难以等待数十亿年，但一光年与一米、一亿年与一天，都并无本质意义上的差别，正如在数学中10与10100并无不可逾越的界限，但有穷与无穷的差别却是实质性的。因此以上的断言都是“原则上”可判定的，因此排中律并未失效。
那么，物理世界中有没有人类连“原则上”都无法判定的东西呢？人们长期以来认为没有，就像人们长期以来并不认为存在不可断言的数学断言那样，但那些乐观的信念都成了过去。前文提到的量子世界中的不确定性原理便揭示了物理世界中的不可判定之事：
首先，“不确定性原理”，即一般所说的“测不准原则”指出：任何的“观测”活动都必须对观测对象产生干扰，例如要知道一个粒子在那儿，势必要用“光”去照看它才能了解，而光子对宏观物体的影响微乎其微，但是对一个基本粒子而言，一个光子就足以将其状态大幅扰动。
因此，是否在中途对粒子进行观测势必会影响最终的结果，而如果我们希望了解：“在得到某种必须使粒子在途中不受额外的干扰才能呈现的结果（例如干涉条纹）时，粒子在途中的状态究竟是怎样的（例如究竟通过A缝还是B缝）”——这是非法的。因为要谈论途中未受干扰时的情形，便意味着我们在原则上都不可能对这种情形时粒子在途中的状态进行判定！而按照直觉主义的主张，对于一个原则上不可判定的问题，赋予其真值是非法的。例如，既然在原则上都不能判定粒子是否通过A缝，那么断言粒子“要么是通过了A缝，要么是通过了B缝。”是不合法的！
接受了“存在必须被构造”的思路，波粒佯谬立刻消失无迹！或许这正如惠勒所说：“量子物理学的真实世界中，基本现象被记载前都不是现象。”
这种思路无疑是某种意义上的“反实在论”，正如在数学中，直觉主义主张数学概念是人类的“语言”，势必具有某种模糊性。同样地，在物理学中，物理概念也是人类的创造，物理“构体”并不是自然本身。这些概念无疑是最终来源于自然，但它们的直接来源却是我们心智的构造，正如詹姆士所说：“数学和物理科学所取得的所有辉煌成就……来源于我们不屈不挠地希望将世界熔铸成我们头脑中的更加合理的图像，而不是那种由我们的经验杂乱无章地扔在那里的场景。”——“波”、“粒子”、“光”、“电子”等等概念，都是人们将杂乱的经验熔铸成的人类头脑中的图像，这些图像的形成当然与自然有关，但它们始终是在人类的有限的心智中成形，因此这些概念无疑是带有人为性和不确定性的。
现在的人们大概对形形色色的“歧义图”不再陌生了，例如正看是少女、倒看是老妇等等，维特根斯坦那幅正看是鸭子、侧看是兔子的经典图片也令人印象深刻。其实最简单的例子就是“6”倒过来看是“9”……
那么，这里有一张白纸，上面只画一个“6”，那么我们说这张纸上“存在一个6”对吗？说“存在一个9”呢？显然，6不是9、兔子不是鸭子、老妇不是少女，那么，这张纸上究竟是6还是9？客观的答案是什么？
没有什么客观的答案，纸上究竟是6还是9不能脱离认识主体来回答：一方面，这与主体的“视角”有关，另一方面也与主体预先的概念有关，只有认识阿拉伯数字的人才会认出6或9来，而拥有另一套概念基础的人可能做出完全不同的解读。那么脱离任何人的主观视角和概念的，完全客观存在的是什么东西呢？我们可以说那确实有着某种东西，但那是无法言说的，即便说“那是一些墨迹”、“那是一张图片”、“那是一张纸”……“墨迹”、“图片”、“纸”等等仍旧是人类的概念、人类的语言！甚至在多数情况下谈论的“存在”——如果不以“物自体”来理解——也是属于人类的概念，自然本身恐怕是混沌一片，物质与虚空的分界、时间与空间的分段等等，也不可能免除人类参与的印记。最终，这些概念都是人类创造的词汇，语言可以有相对的精确，但永远不能达到绝对的精确。
是粒子还是波？
粒子、波就像6、9，兔子、鸭子那样，也是人类构造的概念。那个“玩意儿”究竟是波还是粒子？这就像问那究竟是6还是9类似，不能脱离认识主体而给出答案——你必须告诉我：以怎样的视角去看——在途中检查还是只看最后的光屏？与歧义图不同的是，对于物理实在，我们将永远不可能在所有的视角上对它进行观察，甚至在量子世界里，以此视角进行观察将导致永远地丧失从彼视角进行观察的机会，因此，在任何有意义的物理陈述中都必须加入视角的因素，对于涉及物理实在的问题必须告诉我观察者的状态才可能给出有效的回答。关于一个永远不可能被观察到的东西是什么状态这样的问题就是无意义的，强要为之赋予真值正是导致佯谬的原因。
爱因斯坦指出：“物理学概念是人类心智的自由创造，不独是由外部世界决定的，尽管看起来似乎是这样。在我们理解实在的努力中，我们有点像一个试图理解一块密封的手表之机制的人。他看见了表面和移动的指针，甚至听见了滴答声，但是他没有办法打开盒子。如果他很灵巧，对于引起所有那些他所观察到的现象的机制，他可以形成图像；但他永远也不能确定他的图像是对于其观察的唯一解释。他永远也不能将其图像与真实的机制比较，他甚至不能想象这样一种比较可能有什么意义。在《相对论的意义》中：观念的世界看来不能用逻辑的方法从经验中推导出来，而从某种意义上就是人类心智的创造，没有这种创造就没有科学。尽管如此，这个观念的世界程度较小地独立于我们的经验的本性，正如衣服程度很小地独立于我们的身体的形状一样。”[93]
我们必须有清醒的认识：物理实在本身当然不是人类的创造，但是我们关于物理实在的观念，我们的物理学却是我们心智的创造。这又是直觉主义者观点——数学是人类心智的创造，数学和逻辑学与自然科学并无不可逾越的。科学是人类心智的创造，正因为此——正因为人类心智的有限性——我们必须清醒地认识到科学概念的相对模糊性，永远不要狂妄自满地把任何一个观念认作绝对的。
在1901年，罗素说到，“现代数学最主要的成就就在于发现了什么是真正的数学。”[94]
然而哲学家们真的了解了“什么是真正的数学吗？”或者说，哲学家关于数学基础争论中的任何流派是否有资格提供对“什么是数学”这一问题的权威解答？
比方说，有人想了解“什么是古典音乐”？解答可以是从历史、人物、音乐特色、直到对其节奏和旋律的统计学分析等等说个一大通，但这足以使提问者满意吗？最简单和有效的“解答”就是带他去听一场音乐会，听一首莫扎特的钢琴曲——“喏，这就是古典乐。”
数学也是类似，数学家们不会重视哲学家们对他们工作的解说。柯朗说道：“幸运的是，创造性地思维不顾某些教条的哲学信仰而继续发展着，而如果思维屈从于这种信仰就会阻碍出现建设性的成就，不论对专家来说，还是对普通人来说，唯一回答‘什么是数学’这个问题的，不是哲学而是数学本身中的活生生的经验。”[95]
哲学家普特南也说道：“我希望能使你们相信，数学哲学的形形色色体系，无一例外，都无需认真对待。”[96]
F·克莱因说得好：“事实上，数学已经长得像颗大树，但它不是从最细的根部开始生长的，也不是只向上生长的，相反，在枝、叶扩展的同时，它的根向下扎得越来越深……。那么，我们就能看出，数学中的基础是没有最终结局的，从另一方面讲，也没有一个最初的起点。”[97]
数学是生长和发展着的，“数学基础”可以算作数学中的一个领域、一个分支，它与整个数学一样，也将是发展着的，没有最终的结局的。任何希望一劳永逸地为数学提供一个绝对坚实、固定不移的基础的努力都只是幻想，数学的不断发展将会给数学基础领域带来新的问题。
虽然在事实上，我们看到直觉主义主张的连贯和稳定是其它学派不可相比的，但直觉主义者对“为数学提供确定不移的坚实基础”的野心却远不及其它派别强烈。海廷同意实用主义的看法：“先是一个探索者，然后才是哲学家。而且如果我们愿意的话，可以把后者留给别人。”[98]海廷在陈述直觉主义与古典主义、形式主义、实用主义、符号论等立场的区别与关系的对话体文章“论辩”的最后场景是：直觉主义者把大家领进课堂，讲述直觉主义数学的“样品”——“比起冗长的讨论来，几节课将会使你们对它获得更好的理解。”[99]
直觉主义者并没有执著于为“什么是数学”提供权威的、独断的解答，他们从未在纠缠不休的哲学争论中泥足深陷，他们始终更关注的是数学活动本身，同时关注着自然科学，甚至最终是关注着日常的生活，并以亲身的实践来诠释他们的立场。海廷说道：“在描述直觉主义数学时，我是把思想传播到我的听众那里去；这些语句不应当在某种哲学系统的意义上，而应当在日常生活的意义上去理解。”[100]
[美]保罗·贝纳塞拉夫希拉里·普特南编：《数学哲学》，朱水林应制夷凌康源张玉纲译，陈以鸿王善平校，商务印书馆2003年
[美]M·克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年
[美]M·克莱因：《数学与知识的探求》，刘志勇译，复旦大学出版社2005年
[美]莫里斯•克莱因：《古今数学思想》，邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年
[波]安德热依·莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年》，郭世铭陈安捷修庆云译，康宏逵校，华中工学院出版社1983年
[法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年
[德]康德：《纯粹理性批判》，邓晓芒译，杨祖陶校，人民出版社2004年
[美]R·柯朗 H·罗宾：《什么是数学——对思想和方法的基本研究》，I·斯图尔特审定，左平张饴慈译，复旦大学出版社2005年第二版
郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年
陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月
张建军：《逻辑悖论研究引论》，南京大学出版社2002年
北京大学哲学系
2006年8月15日
[①] [波]安德热依•莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年》，郭世铭陈安捷修庆云译，康宏逵校，华中工学院出版社1983年，第12~13页
[②]至于本文中使用的“直觉主义”、“逻辑主义”、“形式主义”等词汇，笔者也只是以作为整体的某股思潮来理解，在讨论时可以说某个人的某些主张代表着某某主义，但将避免把任何一个人强制地预先归结到某一主义中去，除非他自认如此。
[③] [法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年，第202页
[④] L.E.J.布劳威尔：意识、哲学和数学：见[美]保罗•贝纳塞拉夫希拉里•普特南编：《数学哲学》，朱水林应制夷凌康源张玉纲译，陈以鸿王善平校，商务印书馆2003年，第104页 （本书在下文的注释中简记为《数学哲学》）
[⑤]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第26页
[⑥]这里的“意义”沿用传统的理解，事实上直觉主义同时主张：“意义并不取决于真值条件”
[⑦]米歇尔•杜麦特：直觉主义逻辑的哲学基础：见《数学哲学》，第132页
[⑧]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第79页
[⑨]同上
[⑩]同上
[11] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第239页
[12]参考[美]爱德文•阿瑟•伯特：《近代物理科学的形而上学基础》，徐向东译，北京大学出版社2003年
[13]保罗•贝奈斯：论数学中的柏拉图主义：见《数学哲学》，第301页
[14]见[美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第203页
[15]见郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年，第61页
[16]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第34页
[17]同上
[18]见郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年，第77页
[19]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第214页
[20]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第7页
[21]阿伦特•海廷：数学的直觉主义基础：见《数学哲学》，第61页
[22]米歇尔•杜麦特：直觉主义逻辑的哲学基础：见《数学哲学》，第137页
[23]鲁道夫•卡尔纳普：数学的逻辑主义基础：见《数学哲学》，第48页
[24]鲁道夫•卡尔纳普：数学的逻辑主义基础：见《数学哲学》，第57页
[25]同上，第60页
[26]库尔特•哥德尔：康托尔的连续统问题是什么？：见《数学哲学》，第560~561页
[27]陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月，第60页
[28]同上，第61页
[29]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第82页
[30] L.E.J.布劳威尔：意识、哲学和数学：见《数学哲学》，第111页
[31]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第222页
[32]同上，第231页
[33]同上，第220页
[34]同上
[35]见[美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第253页
[36]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第214页
[37] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第250~251页
[38] L.E.J.布劳威尔：直觉主义和形式主义：见《数学哲学》，第91页
[39]保罗•贝纳塞拉夫：数学真理：见《数学哲学》，第470~471页
[40]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第231页
[41] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第256页
[42]同上，第255页
[43] L.E.J.布劳威尔：直觉主义和形式主义：见《数学哲学》，第90页
[44]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第81页
[45]同上
[46]同上
[47] [美]R•柯朗 H•罗宾著，I•斯图尔特修订：《什么是数学——对思想和方法的基本研究（增订版）》，左平张饴慈译，复旦大学出版社2005年10月第二版，第3页
[48]乔治•克雷塞尔：希尔伯特纲领：见《数学哲学》，第241页
[49]阿伦特•海廷：数学的直觉主义基础：见《数学哲学》，第60页
[50] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第323页
[51]同上，第323~324页
[52]同上，第324~325页
[53]同上，第324页
[54]同上，第238页
[55] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第99页
[56] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第323页
[57]同上，第283~284页
[58]见张建军：《逻辑悖论研究引论》，南京大学出版社2002年，第78页
[59] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第98~99页
[60] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第288页
[61] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第110~111页
[62] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第311页
[63]同上，第294页
[64]同上，第228页
[65]我们经常指责克罗内克对其学生康托尔的刻薄。确实，作为老师克罗内克是不称值的，但我们也该注意到，作为一位思想家，他的思想被忽视的时间比康托尔还要长！直到康托尔的集合论被发展成熟以至到出现悖论时，克罗内克才被人重新想起。
[66] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第113页
[67] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第307页
[68]同上，第310页
[69]同上，第340页
[70]同上，第359页
[71]同上
[72]同上，第341页
[73]同上，第338页
[74]库尔特•哥德尔：康托尔的连续统问题是什么？：见《数学哲学》，第561页
[75] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第116页
[76]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第27页
[77]保罗•贝奈斯：论数学中的柏拉图主义：见《数学哲学》，第304页
[78]陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月，第117页
[79]希拉里•普特南：没有基础的数学：见《数学哲学》，第357页
[80]陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月，第118页
[81] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第99页
[82]保罗•贝奈斯：论数学中的柏拉图主义：见《数学哲学》，第314页
[83]同上
[84] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第277页
[85]希拉里•普特南：模型和实在：见《数学哲学》，第490页
[86]希拉里•普特南：模型和实在：见《数学哲学》，第491页
[87] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第277页
[88]见[美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第278~279页
[89]希拉里•普特南：模型和实在：见《数学哲学》，第493页
[90]同上，第510页
[91]同上，第511页
[92]阿伦特·海廷：论辩：见《数学哲学》，第86页
[93]见[美]M•克莱因：《数学与知识的探求》，刘志勇译，复旦大学出版社2005年，第241~242页
[94] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第283页
[95] [美]R•柯朗 H•罗宾著，I•斯图尔特修订：《什么是数学——对思想和方法的基本研究（增订版）》，左平张饴慈译，复旦大学出版社2005年10月第二版，第5页
[96]希拉里•普特南：没有基础的数学：见《数学哲学》，第343页
[97] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第325页
[98]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第88页
[99]同上，第88页
[100]同上，第88页
最新评论
- apostar
2008-01-01 19:17:02 匿名 210.32.189.188 http://blog.sina.com.cn/apostar
张老师：
不好意思，最近家里发生了大事，一直没上网，所以没看到你的留言。您这篇文章，我以前看过，但不知道这就是您的博客。我比较赞同您这篇文章的观点。我自己认为我或许就是一个在哲学观点上倾向于直觉主义的。只是我坚持这样的观点：任何最终无法还原为自然语言表述的解悖一定有漏洞。最近在看爱因斯坦的《相对论》（重庆出版社），使我惊讶地是，他将很多深奥的哲学问题也都还原成了自然语言。形式逻辑解悖的方式，本身就是违反哥德尔不完全性定理的，只不过现在的逻辑学家多数忘了这一点。形式逻辑是无法解决许多经验世界带来的问题的，知识是无法靠纯粹演绎得来的，这其实是一个简单的事实。 - 古雴
2008-01-01 20:50:04
谢谢，不过这里没有张老师………
可以叫我小古同学……
我没有看出“只是……”的意思，你所说的对形式化、公理化的反对也是直觉主义的主张，当然除了直觉主义派，许多人也都持相似观点。如果说科学有什么基础，那么这个基础也就是日常生活，而不该反过来把科学理论当作生活世界的基础。
