关于中学数学的学习

暑假之前就想写这篇文章了，但一直没有落实……

有老师说：学不好数学是笨，学不好英语是懒。我明显是个懒人，但似乎还不笨……

不过事实上，虽然做数学的确很依赖某种天赋，男性比女性更擅长数学这一事实是难以否认的，正如女性比男性在语言方面更为擅长。不过，天赋的影响可能在顶尖的数学竞赛中体现得较为明显，但是，小学、中学的数学要求是非常低的，把高考水平的数学混过去并不需要有多大的天才，只要掌握了对路的方法，相信一般人都能够轻松应付的。

不过，为什么仍然有一些貌似是天生就学不好数学的人呢？为什么有些人除了上课从来不碰数学，却比那些没日没夜地在题海中拼搏的人数学搞得更好呢？这种投入与收获的不平衡，难道不是天赋的因素吗？

我觉得天赋在这里并不是最关键的，造成一些人学数学如此“事倍功半”的原因，恐怕在于他们从一开始就没有体会到搞数学的“方法”。

数学知识是一环接着一环的，从小学的加减法一直到高中的解析几何，其中有一整条在逻辑上承接着的线索在，每一个新课题都是建立在对先前知识和方法的掌握的基础之上的。比如解析几何，建立在函数什么的之上。函数建立在解方程之上，解方程建立在五年级的应用题之上，应用题建立在小学二年级的算术之上，算术建立在一年级的数数之上。如果函数没学好，那么即便暂时学会做一些解析几何的题，但基础是不牢固的，一旦忘记就找不回来了。

糟糕的是，即便之前的基础没有完全掌握，数学仍然可以（勉强地）学下去，这样的学习者就会感觉从小学到高中的数学不断地在遇到新的领域，要不断地学习崭新的定理和方法，每一次都要重新适应。但事实上，整个从小学到高中的数学乃是一条路的逐渐展开，是同一个阶梯上的环节。一种人是不断地面临新局面而应接不暇，另一种人只是坐着顺水的船沿路把一整条线浏览下来就全明白了。

数学教学经常会陷入的无用功就是：现在在教X，教了一遍你没完全掌握，我就把X再教一遍。你不会做，就再手把手让你多做几遍。课堂时间不够，就参加补习班反复学。学到“熟能生巧”，把各种可能的题型都通过反复操练记下了，考试也多少也就能混过去了。但其实或许你学不好X的症结在于更早之前就该掌握的X的基础Y就没有掌握好。在没有巩固Y的情况下反复搞X，如果最后不是“事倍功半”地勉强混过了，就是弄得学生丧失信心，自以为没有学数学的天赋而自暴自弃。

一般的补习班，即便是一对一的家教，都无非是把现在正在学的东西帮你多重复几遍，不会有什么人说给你做高中数学家教时帮你搞初中乃至小学的问题。这是一般的数学补习“治标不治本”的原因。要是我做家教，无论是初中生还是高中生，我就从小学的东西讲起！

做数学题有几大类方法？假设法？反证法？倒推法？数形结合法？……这些林林总总的方法先别去管，万法归宗，做数学题可以说只有一种方法——“证明”的方法。证明是最根本的方法和手段，好比说，是你自家的“武功”。而其它的具体的题目就是你所要一一迎击的对手。根据对手的不同情况，例如强壮还是灵巧、用刀还是用枪之类，当然要有不同的应付策略。但归根究底，自家的武功是一切的根本，自家武功没练好，遇到谁都要发抖；而自家武功练得炉火纯青了，即便面对未知的对手也能信心十足。

“证明”的方法，从小学到高中都是一贯的。一个人要是对一道高中的数学题写不出严谨得无可挑剔的“证明”（即便他能“做”出这道题），那么他一定对任何一道小学的数学题也写不出严谨得无可挑剔的证明来。反之亦然。

所以，要体会什么才叫严谨得无可挑剔的“证明”，做小学或初中的题目就足够了。确实掌握了“证明”的方法，再去找具体的不同的对手操练，否则自家一点武功不会就去做题海，不被打得鼻青脸肿才怪！

曾经有几位初中和小学网友（其实大概就只有三个人吧）找过我聊数学，有的是请教的，也有的是有点自以为是地让我出题目考考他的，我都狠狠地“打击”了他们一下——我要他们做证明题给我看看，我对他们说的是：“这叫证明吗？”有些人的证明过程中可以找出明显的漏洞，而某些人提供给我的根本不叫“证明”。

连什么是“证明”都没有了解的人，竟还自以为数学水平不错的样子，这是很悲哀的。其实他的水平看起来确实不错，还是能够做一些难题的。许多选择题和填空题是不需要严格的证明的，是可以“看”出来的。然而不熟练证明的方法的话，即便是那些做对的题目，也不能说是真正的理解了。

有人抱怨说：“老师没有教过我们写证明的格式啊！”意思是把责任推给老师了。然而，证明的格式不是哪门专题课的事情，我也从未上过什么“如何写证明”的课。这种课也没有必要开设。因为写证明的格式从小学起不断地在教授了。课本上的每一道例题的解法一般都是足够严格的。你是怎样看教材的呢？是不是觉得有些例题实在太简单就跳过不看了？其实，例题就是在手把手地教你如何写证明啊！“因为”、“所以”、“令”、“设”、“只要证”、“当且仅当”……这些词语怎么使用不是没有教过，而是已经教了无数遍了。

我也不要光说空话，举几道实例看看吧：

出三道证明题：

1、 证明勾股定理。

2、 证明三角形面积公式（不是什么复杂的海伦公式之类，就是“底乘高除以二”而已）

3、 这个是初中难度的：证明三角形的三条中线交于一点。

附加要求：

a、 在证明的开头先用严格的语言重述一下要证明的问题，比如说何谓勾股定理。

b、 明确证明中每一个概念和每一个步骤的意义，尤其是对于前两道题（太简单了是吗？）为用到的每一个数学概念都给出明确的定义，并写清每一步骤是否基于某一公理或定理。——并不要求比方说按照欧几里得的公理和定义系统，公理和定义都可以自己编造，但要全都注明清楚。

完美地完成这些题目要比想象的困难得多。不过，写数学证明与写作文是不同的，只要是真正地掌握了相关的知识和方法，就一定可以做出让与你有仇的最苛刻的老师都不得不给你满分的解答来的。对于如此简单的题目，我的要求是写得让最苛刻的人都提不出任何意见（除了你的字迹太难看之类~）。

先看一个明显不符合标准的证明：

证明勾股定理：

就是一个正方形~四边各切一个直角三角形，（斜边为大正方形的外边），中间留一个正方形，设三角形斜边为B，短直角边为A，长直角边为C，大正方形面积为：b×b=（a—c）×（a—c）＋4×0.5×a×c=a×a＋c×c

……先不说证明的格式和规范问题，这根本不能算是一个“证明”，只能算是一个“说明”。确实，这套解说足以对一个正确的证明方法进行“介绍”，但它远远不是严格的。

……先不说什么是正方形、什么是直角、什么是三角形这些问题都没有说明——要把这些概念都逐一定义过来的要求似乎是过于苛刻了，我还不至于那么残酷。一般的中学生没有想到去定义它们是正常的，不过这道题的难点恰恰在这里。

——“各切一个”是什么意思？怎么切？随手切都行？

——任意的直角三角形都一定可以在某个正方形的边上被这样“切”出来四个吗？

——正方形的“外边”是什么？还有“内边”？

——“中间留一个正方形”怎么留？

——怎么能保证切掉四个三角形后中间一定可以留出一个正方形来？

——“短直角边”是哪条？如果是等腰直角三角形呢？

——设元的字母不符合规范。按不成文的习惯，表示边长时使用小写英语字母（a、b、c……），表示顶点时才用大写字母（A、B、C……）。而且在直角三角形中习惯以c标明斜边，而且一般的习惯是设角A的对边（也就是BC）为a……

千万不要小看那些约定俗成的规范，养成良好的习惯将极大地有助于数学的学习。在这些习惯背后蕴藏的是数学的条理性与简洁性，并且与“对称”的数学思维方法密切相关。例如三角形三边的标记法就蕴含了轮换对称性。在其他场合，这里设p、q、r而不是x、y、z，这里设a₁、a₂、a₃而不是a、b、c，这里设P、P’而不是P、Q……这些习惯背后往往都是有某种理由的，平时细心体会必能有悟于心。

“说明”不是“证明”，一般的初中生高中生都一定能写出这样的一段说明来，但如果只能写到这种程度，却是没有掌握好证明的方法。如果真正掌握了随时应付刁钻苛刻的和你有仇的老师的能力，再在这些上面纠缠就没有意义了。我有时写的“证明”的思路比上面的更简略，“易证”、“显然”这些词语是经常被运用的。但前提是我随时都可以把不完整的论述补充到完整，因此才有资格用“易证”、“显然”来节省笔墨。

2006年10月5日