用Excel展演浑沌！

用Excel展演浑沌！

用于科普，借助Excel演示浑沌的好处是显而易见的：首先，Excel是一个“家常”的软件，几乎每台电脑上都有，不需要使用者专门下载分形软件，随手就来。而且，Excel的操作是傻瓜式的，不需要任何编程技巧。同时，Excel生成图形非常方便，转换为图片、Word文档、PPT、网页文件等都非常便捷。对于初次接触分形的人来说，用Excel亲手操作显然是最直接的体验方式。

在绘制较简单的图样时，Excel的操作相当便捷。以“国王映射”的最初形式为例：

x_(n+1)=sin(by_n)+csin(bx_n),

y_(n+1)=sin(ax_n)+dsin(ay_n),

先在Excel空白工作表的第一行的单元格中依次键入a、b、c、d、x0、y0的数值，例如在A1、B1、C1、D1、E1、F1中分别填入-1，3，0.7，0.7，0.1，0.1

在第二行前四个单元格，也就是对应常数的下方依次键入“=A1”、“=B1”、“=C1”、“=D1”，这样做的好处是方便经常改换常数。

在第二行的后两个单元格，即E2、F2中，填入x_n和y_n的第一次递推公式：

即在E2中键入“=SIN(B2*F1)+C2*SIN(B2*E1)”——注意其中B2、C2分别等于b、c。

在F2中键入“=SIN(A2*E1)+D2*SIN(A2*F1)”。

然后选中第二行的6个单元格，将鼠标移至选择框右下角，当鼠标指针变为十字形时按下拖曳，一直往正下方拖动，可拖至10000行甚至更多，至多可达65536行。拖动的速度是很快的，完成后按ctrl+Home可以方便地回到回到第一行。

选中E、F两列，点击常用工具栏上“图表向导”按钮，或“插入”菜单——“图表”。

选择“XY散点图”，直接Enter或点“完成”即可！

生成的默认图表视觉效果不够理想，拖动图表边框将其拉大（不妨拉到数百行那么长），然后改变窗口的显示比例（比如在点选任一单元格时按住ctrl同时滑动鼠标滚轮），调节到适合状态即可。

在图表中点击右键，选择“图表选项”，可以去除不必要的网格、X轴、Y轴、图例等。双击背景可去除背景颜色，或选择合适的颜色；双击任一数据点可以调整数据点的大小、形状和颜色。

图样即绘制完毕！

接下来可调整常数a、b、c、d和x、y的初始值以观察图案的变化，只需要在第一行操作即可。

也就是说一旦改变了第一行相应的a、b、c、d、x0、y0的数值，整张数据表以及生成的图案就会即时改变！

下面附上的是我用上述方法生成的图样（共30000余点）

修改各常数可得到完全不同的图样！比如将第一行改为-1.05，2.29，1，-1，0.1，0.1，得到下图：

2006年4月28日

用Excel展演浑沌增补：变形金刚&三翅鹰

星定发表于 2006-04-28 20:48:55

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根据原始文本重新录入

科哲作业原始版本：

受到陈星群同学的启发领悟到了用Excel演示混沌的技巧，非常好用，特尝试之~

他做了第一题，我便做第二题：外加做了一些国王映射等图形。

X_n+1=μX_n（1－X_n）

当μ约在（0，0.75）之间，取任意初值，得到周期1。

下仅举μ=0.7，X₁=0.01时图像为例：

当μ约在（0.75，1.25）之间，得到周期2。

下举μ=0.751，X₁=0.01时图像为例：

再举μ=1.2，X₁=0.01时图像为例：

当μ约在（1.25，1.37）之间，得到周期4。

下举μ=1.3，X₁=0.01时图像为例：

当μ约在（1.37，1.4）之间，周期开始变得复杂起来。

下举μ=1.4，X₁=0.01时图像为例：

当μ约在（1.4，2）之间时，出现混沌！

下举μ=2，X₁=0.01时图像为例——以下分别为取到X₁₀₀、X₁₀₀₀₀时的视图：

另外，使用Excel，只要同时列两组递归数列，使用“无数据点平滑散点图”，也可以画出二维的混沌图来，例如将本题的递归公式错开一位写，即点An=（Xn，Xn+1），便可得到形如下图的图样：

依此法应该可以与使用编程造出更复杂的花样来。

下图由

X_n+1=1-aX_n²+Y_n，Y_n+1=bX_n，X1=Y1=1，a=0.1，b=1生成

下图由

X_n+1=1-aX_n²+Y_n，Y_n+1=bX_n，X1=Y1=0.5，a=0.134，b=1生成

下图为X_n+1=sin(bY_n)+csin(bX_n),，Y_n+1=sin(aX_n)+dsin(aY_n)，a=-1.5，b=2.6，c=0.86，d=0.75，X₁=Y₁=0.5的图形（取10000点）：

下图为X_n+1=sin(bY_n)+csin(bX_n),，Y_n+1=sin(aX_n)+dsin(aY_n)，a=-1，b=3，c=0.7，d=0.7，X₁=Y₁=0.1的图形（取10000点）：

X_n+1=sin(aY_n)-zcos(bX _n),

Y_n+1=zsin(cX_n)-cos(dY _n),

Z_n+1=esinX_n.

其中a=2，b=3.281，c=-0.5975，e=0.6666，X₀=1.41，Y₀=2，Z₀=1，时（X、Y）的花样（10000点）

用Excel展演浑沌！（加强版）

在绘制较简单的图样时，Excel的操作相当便捷。以“国王映射”的最初形式为例：

x_(n+1)=sin(by_n)+csin(bx_n),

y_(n+1)=sin(ax_n)+dsin(ay_n),

先在Excel空白工作表的第一行的单元格中依次键入a、b、c、d、x0、y0的数值，例如在A1、B1、C1、D1、E1、F1中分别填入-1，3，0.7，0.7，0.1，0.1

在第二行前四个单元格，也就是对应常数的下方依次键入“=A1”、“=B1”、“=C1”、“=D1”，这样做的好处是方便经常改换常数。

在第二行的后两个单元格，即E2、F2中，填入x_n和y_n的第一次递推公式：

即在E2中键入“=SIN(B2*F1)+C2*SIN(B2*E1)”——注意其中B2、C2分别等于b、c。

在F2中键入“=SIN(A2*E1)+D2*SIN(A2*F1)”。

然后选中第二行的6个单元格，将鼠标移至选择框右下角，当鼠标指针变为十字形时按下拖曳，一直往正下方拖动，可拖至10000行甚至更多，至多可达65536行（但绘图时最多只能用到32000个数据点）。拖动的速度是很快的，完成后按ctrl+Home可以方便地回到回到第一行。

选中E、F两列，点击常用工具栏上“图表向导”按钮，或“插入”菜单——“图表”。

选择“XY散点图”，直接Enter或点“完成”即可！

图样即绘制完毕！

接下来可调整常数a、b、c、d和x、y的初始值以观察图案的变化，只需要在第一行操作即可。

也就是说一旦改变了第一行相应的a、b、c、d、x0、y0的数值，整张数据表以及生成的图案就会即时改变！

下面附上的是我用上述方法生成的图样（共30000余点）

2006年4月28日

修改各常数可得到完全不同的图样！比如将第一行改为-1.05，2.29，1，-1，0.1，0.1，得到下图：

再看一个非常有趣的图样——ZZSUC映射（但我做不出理想中的图样，可能是弄错了，不过我搞出的东西也蛮好玩的~~）：

x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cos(2π/q)+y_nsin(2π/q)

y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sin(2π/q)+y_ncos(2π/q)

在第一行依次输入K、X0、Y0、q的初始值。

在第二行依次输入“=A1”、“=(B1+A2*SIN(C1))*COS(2*PI()/D2)+ C1*SIN(2*PI()/D2)”、“=(B1+A2*SIN(C1))*SIN(2*PI()/D2)+ C1*COS(2*PI()/D2)”、“=D1”，按前述方法，做B、C两列的图样。

我们取X0=-1，Y0=1。

q为3至6的整数。

注意生成的图形对K极为敏感。下依次举q=4时，K为1.667、1.667000000001、1.667000000002、2.05这四种情况的图样（10000点）：

我们看到，当不断调整K时，q=4的图案简直像玩“变形金刚”那样，千变万化——第4幅图的形状简直就象变形金刚！！。不断调整参数值那个“变形金刚”还会变飞机呢（2.0499999999）！

但是需要指出的是，这里看到的形状变化在某种意义上只是个假象，因为其形状与所取的点的个数直接有关，似乎取的点越多，这个映射是会延展直整个平面的。下面对那个变形金刚中的后5000个数据点用另一种颜色进行染色（这也是用Excel做的，只是多加了一行数据让它在5000行后“=Bi”

最后做传说中的“三翅鹰映射”：

我在第一行A1~G1依次输入：

1，1，-0.6，0.95，=2-2*C1，=C1*A1+E1*A1*A1/(1+A1*A1)，=A1

在第二行A2~H2依次输入：

=D1*B1+F1，=F2-G1，=C1，=D1，=2-2*C2，=C1*A2+E1*H2/(1+H2)，=A2，=A2*A2

然后依前法拖曳第2行至上万行，对A、B两列做图表：

第一行的前两个单元格分别为X和Y的初值，对之调整几乎没有影响，而C1、D1两格为常数，对之调整将剧烈影响图样。

下面给出三翅鹰映射图样及其若干变种：