我的逻辑悖论课的论文现在决定写关于直觉主义和数学基础方面的题目，之前一直一心要写归纳逻辑，结果书是看了不少，但我自己的想法却越看越少，最后几乎都被淹没掉了，写一个把各派观点进行综述的文章也没啥意思，而我自己似乎又难以在短时间内整理出什么想法来，所以最后不得不另谋出路……老实说，要混一篇出来并不难，只是波波对我比较熟了，又夸奖过我，拿一份蒙混过关的东西实在是感觉拿不出手，所以一定要尽可能写得好些，但毕竟时间有限，也不知道能写成什么样子……
关于直觉主义，我是有一点自己的观点的。最受影响的是读Ｍ·克莱因的《数学：确定性的丧失》（他的书写得太好了！还有更经典的《古今数学思想》和《数学与知识的探求》都很精彩），从这本书里对当代数学基础的有关争论有了最初的一些了解。直觉主义逻辑是非经典逻辑中最为特别的一支，与其它技巧式的变异逻辑不同，它拥有雄厚的哲学基础，并且有一群名声显赫的科学家支持着。坦白说，我个人对直觉主义是有同情的，最初的原因是它和我所崇敬的哲学家：康德，以及我所欣赏的数学家：庞加莱的名字联系在一起。当然，正如公理化运动实际上至少分为康托尔为首的逻辑主义、希尔伯特领导的形式主义以及策梅罗发起的公理集合论这三个派别，直觉主义内部的派别和主张也很复杂，几乎每一个直觉主义的倡导者都各有不同。我对于某种陷入神秘主义的直觉主义是没有好感的。
话说回来，其实笼统地说直觉主义是神秘主义、超自然主义，或者至少是反实在论的，我认为都是不甚准确的。我想要分析的一个问题是：究竟谁才是自然主义？谁才是实在论？首先必须明确，所谓“自然”、“实在”是什么意思？事实上，称直觉主义者反实在论，称公理化数学家是实在论的那种“实在”是某种柏拉图主义式的实在论。柏拉图其实是当代数学中的幕后主宰。我感觉，同样是主张数学的客观性和真理性的，对于“数学的真理性由什么地方提供保障”这个问题至少有三条思路：超验、经验和先验。一条是可以上溯至柏拉图和毕达哥拉斯，以及唯理论传统的思想，认为数学世界是超越于经验世界的真实世界，康托尔本人就承认自己是柏拉图的信徒；而另一条是认为数学是从经验中、从客观的现实世界中得到的抽象，数学之所以在自然科学中如此“有效”，一点都不奇怪，因为它本来就源自自然科学；第三条就是可以上溯康德，但同时也可能受到柏拉图或亚里士多德传统的影响的进路，直觉主义者通常被认为属于康德主义者，这是贴切的。不过康德的哲学正如柏拉图或任何一个大哲学家那样可以以多种截然不同的视角去解读和发展。康德主义是反实在论吗？我认为不是的，康德正是以其独特的方式坚守着实在论的。在一种以某种方式坚持实在论的直觉主义那里，数学和其它知识一样，源自于自然，其确定性由人的意志之外的自然所保证。然而纯粹的自然是人类这种有限理性的生物所不可及的，人类只能通过自己的语言去描述自然。即便这种描述自然的语言正是“数学”，它仍旧是人类的语言，因此，数学也是可错的、有限的。数学之所以可靠，是因为自然的确定性，而数学之所以不那么可靠，是因为它始终还是人类的发明。所以，我并不支持那种主张说由人类构造出的数学世界就是真正的实在世界。人类能创造数学，但不能创造实在。最终起决定作用的是现实的世界，而不是数学构造的理念世界。反对“实无穷”其实是一种很自然的主张——现实世界中确实没有实无穷，物理学拒绝无穷，所谓实无穷只存在于数学构造出的世界中。直觉主义并不直接地反对二值原则，它并不认为命题有真和假之外的第三种情况，或者说，这第三种情况是“不知道”，这并不是一个新的“真值”，而是对人类有限的认知能力的诚实。直觉主义只是反对把无穷看作是一个完成了的“实在”罢了，这完全是自然主义的，因为自然界中不存在完成了的无穷这种实在。
在当代数学中，有一股将“纯粹数学”神圣化同时贬低“应用数学”的风气，许多数学家坚持数学理所当然地超然于任何实证科学，它有只属于自己的那片世界，这种态度并不是说不好，但事实上数学从来都不能脱离现实世界。古代的数学大师们不必说（那时候很少有专职的数学家，所有的数学大师几乎都事实上把更多的精力投入在物理学或天文学上），当代的可数的几位大师，如庞加莱、希尔伯特、冯·诺依曼等，无一不十分重视数学的应用。在纯粹数学与应用数学的分离的角度看，直觉主义又可以说代表了这样一种反抗：反抗将数学孤立化，变成一套完全“自给自足”、“不假外求”的逻辑公理体系，使得数学与人类的创造力以及现实的世界脱离联系的运动，即便这套逻辑公理体系打造得完满无缺、刀枪不入，又有什么意思呢？更何况这套体系还漏洞百出，各种悖论的出现，以及哥德尔不完全性定理等等，都为直觉主义的主张提供了某些支持。
关于数学基础的最早的争论始于欧几里得的平行公设，究竟是欧氏几何还是非欧几何反映了这个世界的现实？相对论的出现为后者提供了强有力的支持（虽然事实上相对论的时空仍然可以用欧氏几何来解释，只不过用非欧几何在数学上略为简练罢了）。我想到量子力学的兴起，是否对直觉主义是一种支持呢？事实上，我讲过的EPR佯谬用直觉主义的逻辑就能够较好地解释，自始至终都是自然主义的，而不至于陷入神秘主义，而用未加改进的传统的经典实在论确实是无论如何都无法解释的。
不过，我的论文虽然会为直觉主义作某些辩护，然而我本人却不是直觉主义者，事实上，我同时也欣赏超然物外的“纯粹数学”，在纯粹的数学世界中漫游确实是一件无比神圣和愉快的事。正如某位著名数学家所说：数学家都是诗人。数学的创作有无可比拟的美学价值。现实的世界哪里都找不到真正的“无限”，“无限”只有在宗教、艺术或数学之中才能找到。正是因此，数学才不仅仅是一门自然科学，数学就是数学，她是独一无二的。
以上只是我的初步想法，等具体写论文时或许会有所改变。
2006年8月7日
